1 . （1）如图① ，在三角形纸片中，，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的长．

（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值．
（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．
①求线段的长；
②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．

2 . 如图，在中，，，，点D为AB上一点，且，点E为AC上一动点，连接ED，过点D作，交直线BC于点F，点G为EF的中点，当点E从点A运动到点C，点G的运动路径长为________．

   

3 . 问题情境：“综合实践”课上，小聪发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小聪证明思路是：如图2，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．

(1)数学思考：请参照小聪提供的思路，利用图2证明．
(2)深入探究：如图3，已知是的一个外角的平分线，与的延长线交于点，其中．求证：．
(3)应用拓展：如图4，直角坐标系中，直线（）与轴、轴分别相交于点、，以为半径的为与线段相交于点，与轴的正半轴相交于点，与轴的负半轴相交于点．交于点，求的值．

4 . 如图，在中，为线段上一点，线段绕点逆时针旋转能与线段重合，点为与的交点．

(1)若，求线段的长
(2)若为的中点，猜想与的数量关系，并证明你猜想的结论．
(3)设，点在线段上运动，点在线段上运动，运动过程中，当的值最小时，请直接写出的面积；

5 . 如图，直线经过点，与轴交于，为轴负半轴上的一点，且，以为直径作，连结．

(1)求出b的值及直线的函数表达式．
(2)在线段上取点，连结并延长交于点，连结交于点，
①若，求证：．
②当等于中的某一个角时，求的长．
(3)点P关于直线的对称点P′恰好落在上时，请直接写出四边形的面积为______．

6 . 如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，且，连接ED，点F为ED的中点，连接AF、BF、FC，若，，则AF的长为______．

7 . 如图，是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点．已知：．

(1)求证：是的切线；
(2)过点作于点，若的半径为2，求图中阴影部分的面积．

8 . 已知，垂足为点O，点E、F分别在射线、上，连接，点A为的中点，，，连接并延长交线段或于点G．

(1)如图1所示，当点G在上，连接，若，证明四边形是矩形；
(2)当点G在上，请在图2中画出图形并证明；
(3)若，，求的长．

9 . 如图，在中，，D是的中点，过点D作的平行线，交于点E，作的垂线，交于点F．若，且的面积为，则的长是______．

10 . 如图，正方形中，分别为、边的中点，连接，将正方形折叠，使点落在上点的位置，折痕交于点，若，则的长为______．