3 . 【基础巩固】
（1）如图1，在中，平分，，求证：．
【场景迁移】
（2）如图2，四边形为平行四边形，平分交于D，延长，交于A，若，求的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在圆O的中，直径，点D在圆上，点C在圆外，若四边形是菱形，连接交于点E，平分交于点F，在上找一点G，使为定值，说明理由并求出的值．

4 . 【问题情境】折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们准备了大小一样的正方形， 如图1， 正方形纸片，边长为4．

【操作发现】老师提出了如下折叠要求：将正方形 ，沿直线折叠使点B落在边上的点 P处（A，D 两点除外）， 点 C的对应点为点 G． 经过思考，讨论， 同学们分享了他们的发现：
（1）如图2， 当点 P 落在 上任意一个位置时，平分． 请判断这个结论是否正确，并说明理由；
（2）如图3，若与相交于点 H， 当点P是的中点时，可以求出的长度． 请写出解答过程；
【拓展运用】小辉同学在（2）的基础上，求出了的长，进而求得了的周长，发现这个周长与正方形的边长存在一定的关系，是一个定值．进一步研究他发现：当点 P在上任意位置时，如图4，的周长是一个定值． 小辉的结论是否正确？若正确， 请给出证明； 若不正确，请说明理由．

5 . 【基础巩固】（1）如图1，已知于点，于点，是上一点，，，求证：；
【尝试应用】（2）如图2，已知，，点，分别在边和上，是上一点，且，，求的值；
【拓展提高】（3）如图3，已知，，点，分别在直线和直线上，是边上一点，且，，的两条直角边长之比为，直接写出此时的长度．

7 . 【课本再现】
（1）如图1，在中，，，D，E分别是，的中点．求证：，．
【操作发现】
（2）如图2，将图1的先沿着直线翻折得到，再将绕着点F顺时针旋转得到，连接，分别作，的中点D，E，连接．猜想与的关系，并进行证明；
【拓展延伸】
（3）如图3，将（2）中的“旋转”改成“旋转任意角度”，其他条件不变，问DE与的关系是否发生改变？并说明理由．

8 . 问题背景：如图1，在四边形中，点F，E，G分别在上，，，求证：
尝试应用：如图 2，是的中线，点E在上，直线交于点G，直线交于点F，若，求的值．
迁移拓展：如图3，在等边中，点D在上，点E在上，若，，直接写出的值．（用含m的式子表示）

         

10 . 【问题发现】
（1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　；
【拓展延伸】
（2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
（3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长．