1 . 通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形中，，则”．
某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：
   
(1)【问题探究】如图2，在正方形中，点分别在线段上，且，试猜想_________；
(2)【知识迁移】如图3，在矩形中，，点分别在线段上，且，试猜想的值，并证明你的猜想；
(3)【拓展应用】如图4，在四边形中，，点分别在线段上，且，求的值．

3 . 【问题背景】（1）如图，，，．求证：；
【变式迁移】（2）如图，为正方形外一点，，过点作，垂足为，连接．求的值；
【拓展创新】（3）如图，是内一点，，，，，，直接写出的长．

   

4 . 【特例感知】
（1）如图，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是______；
【类比迁移】
（2）如图，和是等腰直角三角形，，写出线段与的数量关系，并说明理由；
【拓展运用】
（3）如图，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，求出的最大值．

5 . 综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．

(1)求，，三点的坐标并直接写出直线的函数表达式；
(2)点是第四象限内抛物线上一点，过点作轴，交抛物线于点，当平分时，求点坐标．
(3)若点是抛物线对称轴上的一点，点为平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点的坐标．

8 . 综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在中，，，是上一点，连接，过点作，垂足为．求证：．

独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图2，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点在的延长线上，连接，过点作，交于点．猜想与的数量关系，并证明．”
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当点与点重合，过点作，交于点时，若给出的边长，则图3中所有已经同字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图3，在（2）的条件下，若点与点重合，过点作，交于点，，求的长．”

9 . 综合与探究
如图1，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上的一动点．
   
(1)求抛物线的顶点的坐标和直线的解析式；
(2)如图，连接交于点，若，求此时点的坐标；
(3)如图，直线与抛物线交于，两点，过顶点作轴，交直线于点．若点是抛物线上一动点，试探究在直线上是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．