1 . 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB于点F．
（1）尝试探究：如图1，当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是　 　；
（2）类比延伸：如图2，当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展迁移：如图3，当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系．

2 . 定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．如图①，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，那么△ABC就是一个“倍角三角形”．
   
[定义应用]
（1）已知△ABC是倍角三角形，∠A＝60°．则这个三角形其余两个内角的度数分别为　　．
[性质探究]
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长分别为a，b，c．若∠A＝2∠B，且∠A＝60°，如图②，易得到a²＝b（b+c）．那么在任意的△ABC中，满足∠A＝2∠B，如图③，关系式a²＝b（b+c）是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
[拓展应用]
（3）若一等腰三角形恰好是一个倍角三角形，求它的腰与底边之比．

3 . 某数学学习小组在复习线段垂直平分线性质时，提出了以下几个问题，请你帮他们解决：
[数学理解]
(1)点是线段垂直平分线上的一点，则的值为      ；
[拓展延伸]
(2)在平面直角坐标系中，点， 点在轴上，且， 则点的坐标为     ．
(3)经小组探究发现，如图，延长线段到点，使，以点为因心，长为半径作园，则对于上任一点，都有，请你证明这个结论：

[问题解决]
(4)如图，某人乘船以25千米/时的速度沿一笔直的河从码头到码头，再立即坐车沿一笔直公路以75千米/时的速度回到住处，已知乘船和坐车所用的时间相等请在河边上确定码头的位置．(请画出示意图并简要说明理由)

4 . [阅读理解]
构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．
例如：如图，D是△ABC边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，则易证E是线段DF的中点．

[经验运用]
请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE＝CF，连接EF交AC于点G．
求证：①G是EF的中点；
②CG＝BE；
[拓展延伸]
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE＝2CF，连接EF交AC于点G．探究BE和CG之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若点E在BA的延长线上，点F在线段BC上，DF交AC于点H，BF＝2，CF＝1，（ 2）中的其它条件不变，请直接写出GH的长．

5 . 【问题发现】如图1，半圆O的直径AB＝10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是          ；
   
【问题探究】如图2所示，AB、AC、是某新区的三条规划路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，所对的圆心角为60°．新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F，即分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．显然，为了快捷环保和节约成本，就要使线段PE、EF、FP之和最短（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．可求得△PEF周长的最小值为         km；
   
【拓展应用】如图3是某街心花园的一角，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12米，在围墙OA和OB上分别有两个入口C和D，且AC＝4米，D是OB的中点，出口E在上．现准备沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE内种花，在剩余区域种草．
①出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？(小路宽度不计)
②已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元．
请问：在上是否存在点E，使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E距直线OB的距离；若不存在，请说明理由．
   

6 . 如图所示，在△ABC中，，D、E分别是边AB、BC上的动点，且，连结AD、AE，点M、N、P分别是CD、AE、AC的中点，设．

（1）观察猜想
①在求的值时，小明运用从特殊到一般的方法，先令，解题思路如下：

如图1，先由，得到，再由中位线的性质得到， ，进而得出△PMN为等边三角形，∴．

②如图2，当，仿照小明的思路求的值；
（2）探究证明
如图3，试猜想的值是否与的度数有关，若有关，请用含的式子表示出，若无关，请说明理由；
（3）拓展应用
如图4，，点D、E分别是射线AB、CB上的动点，且，点M、N、P分别是线段CD、AE、AC的中点，当时，请直接写出MN的长．

7 . 如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，． 点P是边BC上一个动点（不与B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接CD．

填空：①=            ；②∠ACD的度数为            ．
（2）拓展探究
如图②，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，． 点P是边BC上一个动点（不与B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接CD． 请判断∠ACD与∠B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图③，在△ABC中，∠B=45°，AB=4，BC=12，P是边BC上一动点（不与B重合），∠PAD=∠BAC，∠APD=∠B，连接CD． 请直接写出所有CD的长．

8 . 如图1，在菱形ABCD中，，点E，F分别是AC，AB上的点，且，猜想：
　　
①的值是_______；
②直线DE与直线CF所成的角中较小的角的度数是_______．
（2）类比探究：如图2，将绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中结论是否成立，就图2的情形说明理由．
（3）拓展延伸：
在绕点A旋转的过程中，当三点共线时，请直接写出CF的长．

9 . （1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．
（2）理解应用：如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长　 　；
（3）拓展应用：如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长　 　

10 . 【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：；

【结论应用】（2）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的长；
【拓展运用】（3）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB＝2，BC＝3，EF＝，请求BP的长．