2 . 综合与实践

（1）【问题发现】
在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，E为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．通过观察图形，直接写出与的数量关系：            ．
（2）【类比探究】
兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．请判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】
在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长：            ．

3 . 《九章算术》勾股章一五问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题∶知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“勾容正方形”）
其文如下：
题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？
答：方三步，十七分步之九．
术：并勾、股为法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一步．
“题”、“答”、“术”的意思大致如下∶
问题：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的“勾容正方形”的边长是多少？
答案：
解法：
（1）问题探究
根据“勾股容方”中描述的直角三角形与其“勾容正方形”之间的关系，请提出一个数学命题，并证明；
（2）类比探究
“勾股容圆”：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的内切圆的半径是多少？
（3）拓展运用
某市去年举办中小学校园文化展览，举办方在某广场搭建了一个展馆（平面示意图为正方形），并综合考虑参展主题、参展单位等因素将展馆划分为四个展区，规划方案如图所示，其中，是的中点，点，在边上，垂直平分，垂足为，．
今年，为了让更多人参与，举办方拟在北湖公园的一块菱形场地上搭建展馆，该菱形场地面积为，且两条对角线长度之和为，考虑到展览安全、公园环境等各方面的因素，若举办方希望沿用去年展馆及展区的规划方案，则展馆的建设需满足以下要求：①展馆平面示意图中的A，B，C，D四个点分别落在菱形场地的四条边上；②展馆主入口的宽度为，去年的规划方案是否可行？请说明理由．

5 . （1）【问题发现】
如图1，在中，，，点为的中点以为一边作正方形，点恰好与点重合，则线段与的数量关系为________．
（2）【拓展探究】
在（1）的条件下，如果正方形绕点旋转，请判断线段与的数量关系，并就图2的情形说明理由．
（3）【问题解决】
当，且第（2）中的正方形旋转到，，三点共线时，请直接写出线段的长．

   

6 . 小东在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小东继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】
如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：

如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合）， 连接，则， 又∵， ∴___________， ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∵点B，D在点A，C，E所确定的上， ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上．

【反思归纳】
（1）上述探究过程中的横线上填的内容是________；
【拓展延伸】
（2）如图3，在中，，将绕点A逆时针旋转得，连接交于点D，连接．小东发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变．
①根据，利用四点共圆的思想，试证明；
②当为直角三角形，且时，直接写出的长．

7 . （1）【问题探究】
如图1，于点B，于点C，交于点D，求证：
（2）【知识迁移】
如图2，在矩形中，E是上的一点，作交于点F，，若，，求的值．
（3）【拓展应用】
如图3，菱形的边长为5，，E为上的一点，过D作E交于点F，交于点G，且，求的长．

10 . 【问题提出】在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交于点，连接，试探究点D到线段的距离．

【问题探究】
（1）先将问题特殊化，如图2，当点E和A重合时，直接写出D到线段的距离（用含的式子表示）；
（2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中的结论仍然成立；
【问题拓展】如图3，在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交直线于点，连接．若，直接写出的值（用含的式子表示）．