1 . 综合与实践；
【问题情境】为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（），，．
【探究实践】
老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交，于点M，G．老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现．
（1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由．
（2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”，请你判断小明的结论是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进一步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长”．老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，，请你帮小慧求出的长．

2 . 探究与证明．
活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)【操作证明】如图1，点E是正方形纸片的边所在射线上一动点，将正方形沿着折叠，点A落在点F处，把纸片展平，射线交射线于点P．根据以上操作，试证明：；
(2)【迁移探究】如图2，若正方形边长为6，点E是． 的中点，延长交于点Q，求线段的长度；
(3)【拓展应用】如图3，点E是矩形的边上一动点，将矩形沿BE折叠，使点A落在点F处，射线交射线于点．当时，直接写出的长．

3 . 如图，菱形中，点E在对角线上，点M在直线上，将线段绕点M顺时针旋转得到线段，旋转角，连接．

【问题发现】
（1）如图（1），当点M与点A重合时，求证：；
【类比探究】
（2）如图2，当点M在边上时，时，求证：；
【拓展延伸】
（3）如图3，当点M在延长线上时，若，，，设，，求y与x之间的数量关系

5 . 综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作发现】
（1）操作一：如图1，第一小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为．根据以上操作，求；
【拓展探究】
（2）操作二：如图2，第二小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．若，求线段的长；
【迁移应用】
（3）如图3，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若，，，请求出线段的长．

6 . 在矩形中，，，点E从点A出发，沿边，向点C运动，点A，D关于直线的对称点分别为点，，连接，，．

(1)【初步感知】如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
(2)【深入探究】当点E运动到中点时，连接，求的长；
(3)【拓展运用】当直线恰好经过点C时，求的长．

7 . 综合与实践∶
【问题背景】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究．
【探究发现】如图 1，在 中，
（1）操作发现：将 折叠，使边落在边上，点C的对应点是点E，折痕交于点 D，连接，则          °，设， 那么      （用含x的式子表示）；
（2）进一步探究发现：顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为 这个比值被称为黄金比．请在 （1）的条件下证明： ．
【拓展应用】当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图 1 中的 是黄金三角形．
（3）如图2， 在菱形中，．求这个菱形较长对角线的长．

8 . 感知：如图①，在四边形中，，点在边上，当时，易证，从而得到（不需要证明）．

(1)探究：如图②，在四边形中，点在边上，当 时，结论仍成立吗？请说明理由；
(2)拓展：如图③，在中，点是的中点，点，分别在边，上．若，，，则的长是      ．

9 . 综合与实践课上，老师让同学们以“旋转”为主题开展数学活动．
[问题情景]
如图1：在矩形中，，．将边绕点A逆时针旋转α度，得到线段，过点E作交直线于点F．

[初步感知]
（1）当时．四边形的形状为________．周长为________（直接写出答案）．
[深入探究]
（2）定义：若一个四边形有两组邻边分别相等，那么这个四边形叫做筝形．请你仅以图1判定四边形是否为筝形，说明理由，并求出此时四边形的周长（用含α的代数式表示）．
[拓展提升]
（3）在[问题情景]的条件下，连接，当是以点E为直角顶点的直角三角形时，请直接写出此时的长度．