2 . 【教材呈现】
人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下：
【类比分析】
（1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长．
【迁移探究】
（2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：．
【拓展应用】
（3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________．

3 . 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答．

（1）【观察发现】
①如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则与的数量关系是__________；
②如图2，的角平分线、相交于点P．当时，线段与的数量关系是__________；
（2）【探究迁移】
如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，当有一个内角是时，直接写出边的长．

6 . 综合与实践
【问题情景】
数学活动课上老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动
（1）小莹将平行四边形纸片进行折叠（如图①）使点A落在边上的点E处，折痕为，将纸片展平，试猜想四边形的形状，并说明理由．

【探究与实践】
（2）小亮同学将一张矩形纸片进行折叠（如图②），使边落在对角线上，点B落在点O处：
①若点B恰好落在的中点处，折痕为，延长交的延长线于点G，与有什么数量关系？并说明理由；
②若点B落在的处（如图），那么与的数量关系是______．

【拓展应用】
（3）大刚将一张边长为8的正方形纸片进行折叠（如图③），先将正方形纸片对折，折痕为．将正方形沿折叠使得点D与E重合与的交点为M，求的值．

7 . 如图，是等腰三角形，．点D在直线上，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接

(1)问题发现：
如图1，若__________，与的数量关系是___________________．
(2)类比探究：
如图2，若，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论，并说明理由．
(3)拓展应用：
若，过点E作于点F，，请直接写出的长．