1 . 如图，已知
，
，
为射线
上两点，且
．
(1)求作菱形
，使得点
在射线
上(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)连接
，
交于点
，交
于
在（1）的条件下，求证：
．
，，为射线上两点，且．(1)求作菱形
，使得点在射线上(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)连接
，交于点，交于在（1）的条件下，求证：．
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名校
2 . 下面是某数学兴趣小组用尺规作图“作一条线段的三等分点”的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
如图1：①分别以点A，B为圆心，大于
的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D；
②连接
，作射线
；
③以D为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E；
④连接
，交于点F，点F即为的三等分点（即
）．
任务：
(1)求证：四边形
是菱形；
(2)请你证明点F为的三等分点；
(3)尺规作图：如图2，请利用尺规再设计一种方法，作线段的三等分点．（保留作图痕迹）
如图1：①分别以点A，B为圆心，大于
的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D；②连接
，作射线；③以D为圆心，
的长为半径画弧，交射线于点E；④连接
，交于点F，点F即为的三等分点（即）．任务：
(1)求证：四边形
是菱形；(2)请你证明点F为
的三等分点；(3)尺规作图：如图2，请利用尺规再设计一种方法，作线段
的三等分点．（保留作图痕迹）
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2023-11-19更新
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56次组卷
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2卷引用：福建省宁德市福鼎市第一中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
3 . 如图，在
中，
．
(1)求作菱形
，使得D，E，F分别在边
上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若
，
，求
的长．
中，． (1)求作菱形
，使得D，E，F分别在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若
，，求的长．
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名校
4 . 如图，在
中，
，
．
(1)求作：
的平分线交于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：点D为线段的黄金分割点（即
）．
中，，． (1)求作：
的平分线交于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)求证：点D为线段
的黄金分割点（即）．
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5 . 如图，在中，
．
(1)利用尺规作图，过点A作一条直线
，使其交于点D，且使
（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若
，求的长．
中，． (1)利用尺规作图，过点A作一条直线
，使其交于点D，且使（不写作法，保留作图痕迹）；(2)若
，求的长．
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2023-11-25更新
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26次组卷
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2卷引用：辽宁省大连市高新技术产业园区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
名校
6 . 如图，在直角内，以A为一个顶点作正方形，使得点E落在边上．
(1)用尺规作图，作出D、E、F中的任意一点（保留作图痕迹，不写作法和证明，另外两点不需要用尺规作图确定，作草图即可）；
(2)若
，求正方形的边长．
内，以A为一个顶点作正方形，使得点E落在边上．(1)用尺规作图，作出D、E、F中的任意一点（保留作图痕迹，不写作法和证明，另外两点不需要用尺规作图确定，作草图即可）；
(2)若
，求正方形的边长．
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7 . 如图，中，
(1)在上求作一点D，使
（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，求
的周长．
中， (1)在
上求作一点D，使（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，求
的周长．
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8 . 【概念认识】
在中，，直线l分别交边
于点D，E. 若
，则称直线l为等腰的“和谐分割线”.
【探索发现】
（1）在中，，直线l为等腰的“和谐分割线”. 小美，小丽探索发现了下列结论.
（i）如图①，小美过点D作
，交
于点H. 证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.
（ii）请证明小丽所发现的结论.
【解决问题】
（2）如图③，在中，，点P为外一点，P过点P作一条直线l，使直线l是等腰的“和谐分割线”.（要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
【拓展延申】
（3）在中，
，
，点O为的外心，P为平面内一点，过点P可作出等腰的“和谐分割线”，则
的最小值为 .
在
中，，直线l分别交边于点D，E. 若，则称直线l为等腰的“和谐分割线”.【探索发现】
（1）在
中，，直线l为等腰的“和谐分割线”. 小美，小丽探索发现了下列结论. （i）如图①，小美过点D作
，交于点H. 证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.（ii）请证明小丽所发现的结论.
【解决问题】
（2）如图③，在
中，，点P为外一点，P过点P作一条直线l，使直线l是等腰的“和谐分割线”.（要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明）【拓展延申】
（3）在
中，，，点O为的外心，P为平面内一点，过点P可作出等腰的“和谐分割线”，则的最小值为 .
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9 . 如图1，在矩形中，
，
，点
是边上的一个动点，连接
，点
是
边上的一点，且满足
.
(1)在图1中作出点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)当
时，则
________；
(3)随着点的运动，
是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.
中，，，点是边上的一个动点，连接，点是边上的一点，且满足.(1)在图1中作出点
；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)当
时，则________；(3)随着点
的运动，是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.
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名校
10 . 如图，在中，，．
(1)求作：的平分线交于点
；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：点为线段的黄金分割点（即）；
(3)若
，求的长．
中，，． (1)求作：
的平分线交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)求证：点
为线段的黄金分割点（即）；(3)若
，求的长．
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