1 . 如图，中，D是边上的一点，．


(1)在上求作一点E，使；（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)求证：．

2 . 如图，在中，．

（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为点E．
（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．

3 . 如图，是的直径，点在上，连接，．按如下步骤尺规作图：

   

①以点为圆心，适当长为半径画弧，与，分别交于点，；
②分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；
③连接并延长交于点，交于点，连接，．
(1)请在图中找出一对相似三角形并证明；
(2)若，，求的长．

4 . 如图，在中，，在平面内任取一点，连接（），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．

(1)请根据题意补全图；
(2)猜测和的数量关系并证明；
(3)当点位于射线上时，作射线交于点，把绕点旋转，，时，直接写出的长．

5 . 如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．

(1)如图1，与的数量关系是_____；位置关系是_____．
(2)如图2，当点在的延长线上时，求的长；
(3)在旋转过程中，当线段时，求 的长．（请自己作图解决）

6 . 已知：如图，在△ABC中．
（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：
①作∠BAC的平分线，交BC边于点D；
②作AD的垂直平分线MN，分别交AB、AC于点E、点F，连接DE、DF．
（2）求证：四边形AFDE是菱形；
（3）在（1）作出的图形中，若BD＝6，AF＝4，CD＝3，求BE的长．

7 . 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．
（1）请根据题意补全图1；
（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；
（3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°，AB=2，AD=1时，补全图形，直接写出PB的长．

8 . 如图，已知．
（1）用直尺和圆规在BC边上取一点E，使AB=AE，连结AE；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的前提下，求证：AE=CD；∠EAD=∠D；
（3）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，直接写出EF∶FA的值．

9 . 如图：△ABC中，∠C=45°，点D在AC上，且∠ADB=60°，AB为△BCD外接圆的切线．
（1）用尺规作出△BCD的外接圆（保留作图痕迹，可不写作法）；
（2）求∠A的度数；
（3）求的值．

10 . 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：如图①，在中，于点，正方形的边在上，顶点，分别在，上，若，，求正方形的边长（用，表示），
（2）操作：如何画出这个正方形呢？
如图②，小波画出了图①的，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在上任取一点，画正方形，使点，在边上，点在内，然后连接，并延长交于点，画于点，交于点，于点，得到四边形；
（3）推理：证明图②中的四边形是正方形；
（4）拓展：小波把图②中的线段称为“波利亚线”，在该线上截取，连接，（如图③），当时，求“波利亚线”的长（用，表示）．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．