1 . 如图，
的内接三角形
中，
，延长
于D，使
，过D作的切线
，切点为E，连接
、
、
、
．是的切线；
(2)探究：在
长度的变化过程中，
是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
的内接三角形中，，延长于D，使，过D作的切线，切点为E，连接、、、．
是的切线；(2)探究：在
长度的变化过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
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2 . 如图，已知点D为
斜边
上的中点，
交
于点F，
，若
，
，则
的长为 ____________________ ．
斜边上的中点，交于点F，，若，，则的长为 
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3 . 筒车也称为“水车”，利用水力运转的原理，让竹筒取水，流水自转导灌入田．如图1，点
是水车的一个竹筒（能盛水），如图2，水车工作时，竹筒的运动路径是以轴心
为圆心的圆，水力驱动水车按逆时针方向转动，竹筒转动到点
时，水沿的切线方向倒入水渠
，延长
交于点
，
．
处，且点，，在同一条直线上，
，
米．下降至
，点，，不在同一条直线上，求证：
．
是水车的一个竹筒（能盛水），如图2，水车工作时，竹筒的运动路径是以轴心为圆心的圆，水力驱动水车按逆时针方向转动，竹筒转动到点时，水沿的切线方向倒入水渠，延长交于点，．
处，且点，，在同一条直线上，，米．①求证：
；
②求竹筒在水下的最大深度为 米（结果保留根号）；
(2)如图3，若水面下降至，点，，不在同一条直线上，求证：．
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4 . 综合与实践
问题情境：
中， 
，
， 点E，F 分别是
上一点， 且
，点H，G 是
上两点， 且
．
操作发现：
(1)如图 (2)， 先将
沿直线
折叠得到
， 展开后再将 
沿直线
折叠得到
，再展开， 设
与
交于点O， 求证：
；
(2)如图(3)，在(1)的条件下，若点
，
均落在上， 且
是等边三角形，求
的长；
(3)如图 (4)，在 (1) 的条件下，若点，重合于上一点， 请直接写出 的长．
问题情境：
中， ，， 点E，F 分别是上一点， 且，点H，G 是上两点， 且．操作发现：
(1)如图 (2)， 先将
沿直线折叠得到， 展开后再将 沿直线折叠得到，再展开， 设与交于点O， 求证：；(2)如图(3)，在(1)的条件下，若点
，均落在上， 且是等边三角形，求的长；(3)如图 (4)，在 (1) 的条件下，若点
，重合于上一点， 请直接写出 的长．
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5 . 如图，抛物线
（
、
为常数）与
轴交于、
两点，与
轴交于点，直线的函数关系式为
．点坐标；
(2)已知点
是线段
上的一个动点，过点
作轴的垂线
分别与直线和抛物线交于
、两点，当
为何值时，
恰好是以为底边的等腰三角形？
(3)在（2）问条件下，当恰好是以为底边的等腰三角形时，动点相应位置记为点
，将
绕原点顺时针旋转得到
（旋转角在
到
之间）；
①探究：线段
上是否存在定点
（不与、重合），无论如何旋转，
始终保持不变，若存在，试求出点坐标；若不存在，请说明理由；
②试求出此旋转过程中，
的最小值．
（、为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，直线的函数关系式为．
点坐标；(2)已知点
是线段上的一个动点，过点作轴的垂线分别与直线和抛物线交于、两点，当为何值时，恰好是以为底边的等腰三角形？(3)在（2）问条件下，当
恰好是以为底边的等腰三角形时，动点相应位置记为点，将绕原点顺时针旋转得到（旋转角在到之间）；①探究：线段
上是否存在定点（不与、重合），无论如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出点坐标；若不存在，请说明理由；②试求出此旋转过程中，
的最小值．
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2024九年级下·贵州·专题练习
6 . 如图，是
的外接圆，是的直径，点D在上，
，连接，延长
交过点C的切线于点E．
；
(2)求证：
；
(3)若
的长为 ___________．
是的外接圆，是的直径，点D在上，，连接，延长交过点C的切线于点E．
；(2)求证：
；(3)若
的长为 ___________．
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2024九年级下·贵州·专题练习
7 . 如图，在中，
，分别以的三边为边向外作正方形
，正方形
，正方形
，连接
并延长交
于N，过C作
交于M，若
，则正方形的面积等于 ___________ ．
中，，分别以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连接并延长交于N，过C作交于M，若，则正方形的面积等于 
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8 . 在中，
，点在直线上，直线与的夹角为
， 且
，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，．
如图
，若
，则
的度数为________，
的值为______；
(2)【问题探究】
如图
，若
，判断的值是否发生变化？并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图
，， 交于点， 点在线段上 ，
，
，求线段的长．
中，，点在直线上，直线与的夹角为， 且，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，．
如图
，若，则的度数为________，的值为______；(2)【问题探究】
如图
，若，判断的值是否发生变化？并说明理由；(3)【拓展延伸】
如图
，， 交于点， 点在线段上 ，，，求线段的长．
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9 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（
）如图，在正方形中，点
分别是
上的两点，连接
，
，则
的值为__________．
（
）如图，在矩形中，
，
，点是上的一点，连接
，且
，则
的值为__________；
【类比探究】
（
）如图，在四边形中，
，点为上一点，连接，过点作的垂线交
的延长线于点
，交的延长线于点，求证：
．
【拓展延伸】
（
）如图，在
中，
，
，
，将
沿翻折，点落在点处得
，点分别在边上，连接，，
．求的值．
（
）如图，在正方形中，点分别是上的两点，连接，，则的值为__________．（
）如图，在矩形中，，，点是上的一点，连接，且，则的值为__________；【类比探究】
（
）如图，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：．【拓展延伸】
（
）如图，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点分别在边上，连接，，．求的值．
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2024-05-12更新
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230次组卷
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3卷引用：2023学年贵州省铜仁市碧江区铜仁学院附属中学九年级下学期第5次模拟预测题
2023学年贵州省铜仁市碧江区铜仁学院附属中学九年级下学期第5次模拟预测题2024年广东省阳江市阳春市中考一模数学试题（已下线）考前特训03 几何解答题探究综合压轴题-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）
10 . （1）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且
，请写出线段与
之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图，在矩形中，
，
，点，分别在边，上，且，请写出线段与之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图，在中，
，为的中点，连接，过点作
于点，交于点，若，
，求的长．
，在正方形中，点，分别在边，上，且，请写出线段与之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图
，在矩形中，，，点，分别在边，上，且，请写出线段与之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图
，在中，，为的中点，连接，过点作于点，交于点，若，，求的长．
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