1 . 如图，
的内接三角形
中，
，延长
于D，使
，过D作的切线
，切点为E，连接
、
、
、
．是的切线；
(2)探究：在
长度的变化过程中，
是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
的内接三角形中，，延长于D，使，过D作的切线，切点为E，连接、、、．
是的切线；(2)探究：在
长度的变化过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
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2 . 如图，已知点D为
斜边
上的中点，
交
于点F，
，若
，
，则
的长为 ____________________ ．
斜边上的中点，交于点F，，若，，则的长为 
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3 . 筒车也称为“水车”，利用水力运转的原理，让竹筒取水，流水自转导灌入田．如图1，点
是水车的一个竹筒（能盛水），如图2，水车工作时，竹筒的运动路径是以轴心
为圆心的圆，水力驱动水车按逆时针方向转动，竹筒转动到点
时，水沿的切线方向倒入水渠
，延长
交于点
，
．
处，且点，，在同一条直线上，
，
米．下降至
，点，，不在同一条直线上，求证：
．
是水车的一个竹筒（能盛水），如图2，水车工作时，竹筒的运动路径是以轴心为圆心的圆，水力驱动水车按逆时针方向转动，竹筒转动到点时，水沿的切线方向倒入水渠，延长交于点，．
处，且点，，在同一条直线上，，米．①求证：
；
②求竹筒在水下的最大深度为 米（结果保留根号）；
(2)如图3，若水面下降至，点，，不在同一条直线上，求证：．
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4 . 综合与实践
问题情境：
中， 
，
， 点E，F 分别是
上一点， 且
，点H，G 是
上两点， 且
．
操作发现：
(1)如图 (2)， 先将
沿直线
折叠得到
， 展开后再将 
沿直线
折叠得到
，再展开， 设
与
交于点O， 求证：
；
(2)如图(3)，在(1)的条件下，若点
，
均落在上， 且
是等边三角形，求
的长；
(3)如图 (4)，在 (1) 的条件下，若点，重合于上一点， 请直接写出 的长．
问题情境：
中， ，， 点E，F 分别是上一点， 且，点H，G 是上两点， 且．操作发现：
(1)如图 (2)， 先将
沿直线折叠得到， 展开后再将 沿直线折叠得到，再展开， 设与交于点O， 求证：；(2)如图(3)，在(1)的条件下，若点
，均落在上， 且是等边三角形，求的长；(3)如图 (4)，在 (1) 的条件下，若点
，重合于上一点， 请直接写出 的长．
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5 . 在中，
，点在直线
上，直线与的夹角为
， 且
，分别过点
，作直线的垂线，垂足分别为
，．
如图
，若
，则
的度数为________，
的值为______；
(2)【问题探究】
如图
，若
，判断的值是否发生变化？并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图
，， 交于点， 点在线段上 ，
，
，求线段的长．
中，，点在直线上，直线与的夹角为， 且，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，．
如图
，若，则的度数为________，的值为______；(2)【问题探究】
如图
，若，判断的值是否发生变化？并说明理由；(3)【拓展延伸】
如图
，， 交于点， 点在线段上 ，，，求线段的长．
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6 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（
）如图，在正方形中，点
分别是
上的两点，连接
，
，则
的值为__________．
（
）如图，在矩形中，
，
，点是上的一点，连接
，且
，则
的值为__________；
【类比探究】
（
）如图，在四边形中，
，点为上一点，连接，过点作的垂线交
的延长线于点
，交的延长线于点，求证：
．
【拓展延伸】
（
）如图，在
中，
，
，
，将
沿翻折，点落在点处得
，点分别在边上，连接，，
．求的值．
（
）如图，在正方形中，点分别是上的两点，连接，，则的值为__________．（
）如图，在矩形中，，，点是上的一点，连接，且，则的值为__________；【类比探究】
（
）如图，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：．【拓展延伸】
（
）如图，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点分别在边上，连接，，．求的值．
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2024-05-12更新
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230次组卷
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3卷引用：2023学年贵州省铜仁市碧江区铜仁学院附属中学九年级下学期第5次模拟预测题
2023学年贵州省铜仁市碧江区铜仁学院附属中学九年级下学期第5次模拟预测题2024年广东省阳江市阳春市中考一模数学试题（已下线）考前特训03 几何解答题探究综合压轴题-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）
7 . （1）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且
，请写出线段与
之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图，在矩形中，
，
，点，分别在边，上，且，请写出线段与之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图，在中，
，为的中点，连接，过点作
于点，交于点，若，
，求的长．
，在正方形中，点，分别在边，上，且，请写出线段与之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图
，在矩形中，，，点，分别在边，上，且，请写出线段与之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图
，在中，，为的中点，连接，过点作于点，交于点，若，，求的长．
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8 . 如图，长方形中，
，
，
，动点
从点出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，设点运动的时间是
秒，以
为边作等边
（使和长方形的在射线的同侧）．为何值时，
点在线段上？当为何值时，点在线段
上？
(2)设的中点为
，与线段相交于点
，是否存在
为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
(3)设与长方形重叠部分的面积为
，求与的函数关系式．
中，，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，设点运动的时间是秒，以为边作等边（使和长方形的在射线的同侧）．
为何值时，点在线段上？当为何值时，点在线段上？(2)设
的中点为，与线段相交于点，是否存在为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．(3)设
与长方形重叠部分的面积为，求与的函数关系式．
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9 . 已知，如图①，四边形是矩形，对角线
相交于点O，
．
在图①中，根据给出的条件，直接写出一条未知线段的长度或一个角的大小；
(2)【问题探究】
如图②，在矩形中，点P是对角线上的一个动点，连接，过点P作
交于点E，连接，在点P运动的过程中试探究
的大小，并写出证明过程；
(3)【拓展延伸】
如图③，在矩形中，点P是对角线上的一个动点，连接，在的左下方作
，使
，
，在点P从点B向点D的运动过程中，猜想点Q的运动路径并求出它的长度．
是矩形，对角线相交于点O，．
在图①中，根据给出的条件，直接写出一条未知线段的长度或一个角的大小；
(2)【问题探究】
如图②，在矩形
中，点P是对角线上的一个动点，连接，过点P作交于点E，连接，在点P运动的过程中试探究的大小，并写出证明过程；(3)【拓展延伸】
如图③，在矩形
中，点P是对角线上的一个动点，连接，在的左下方作，使，，在点P从点B向点D的运动过程中，猜想点Q的运动路径并求出它的长度．
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2024-04-16更新
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116次组卷
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2卷引用：2023年贵州省统一命题中考数学模拟预测题
10 . 某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下深究过程．
【问题解决】
（1）如图①，在矩形中，点为边上一点，将绕点顺时针笑转90°后得．若点恰好落在边上，求证：
；
【问题探究】
（2）如图②，在正方形中，点为的中点，将绕点原时针旋转90°后得．连接，
．若
，求点到的距离；
【拓展延伸】
（3）如图③，在菱形中，点为边上任意一点，点在上，
．，交于点．若
，
，当
为等腰三角形时，直接写出的长．
【问题解决】
（1）如图①，在矩形
中，点为边上一点，将绕点顺时针笑转90°后得．若点恰好落在边上，求证：；【问题探究】
（2）如图②，在正方形
中，点为的中点，将绕点原时针旋转90°后得．连接，．若，求点到的距离；【拓展延伸】
（3）如图③，在菱形
中，点为边上任意一点，点在上，．，交于点．若，，当为等腰三角形时，直接写出的长． 
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