1 . 如图所示，在中，，，在上取点，以为圆心，以为半径作圆，与相切于点，并分别与，相交于点，（异于点），连接，．

(1)若点恰好是的中点，则的度数为          ；
(2)求证：平分；
(3)若的长为，求的半径长．

2 . 如图，在矩形中，于点，交于点，过点作的角平分线交于点，．

(1)求证：；
(2)求；
(3)若，求四边形的面积．

4 . 若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的夹角称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角．

(1)为了说明直线和圆的交角性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整（只证明劣交角即可）．
已知：如图1，直线与相交于点，过点作的切线，点为上任一点，连接．求证： ______．
(2)如图2，直线与相交于，为的直径，切于点，交的延长线于点，若，，求的半径．

5 . 问题情境：数学课上，老师利用两个特殊的四边形进行图形变换操作探究，如图1，正方形和正方形，连接，．

(1)发现：当正方形绕点A旋转，如图2，①线段与之间的数量关系是______；
②直线与直线之间的位置关系是______．
(2)探究：若四边形与四边形都为矩形，矩形绕点A旋转，如图3，且，．请写出直线和直线的位置关系，并说明理由．
(3)应用：在（2）的条件下，连接（点E在上方），矩形绕点A㫌转至，且，，则线段长是多少？（直接写出结论）

6 . 安顺白塔又叫望城塔，位于安顺新大十字的西秀山上，始建于元泰定三年（1326年），是安顺三大元代建筑之一．小聪来游玩白塔后，很想知道白塔的高度，于是他用所学的知识进行测量求解，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，小聪站在距A点1米的点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿NA方向移动3.6米至点D处（即米），小聪站在距D点1.6米的点E处，佮好再次在平面镜中看到塔的顶部点M，已知小明眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出白塔的高度MN（平面镜大小忽略不计）．
   

7 . 如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为多少．
   

8 . 【问题情境】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，F是AC边上一动点（点F不与点A，C重合），以CF为边在△ABC外作正方形CDEF，连接AD，BF．

(1)【探究展示】①猜想：图1中，线段BF，AD的数量关系是         ，位置关系是         ．
②如图2，将图1中的正方形CDEF绕点C顺时针旋转α，BF交AC于点H，交AD于点O，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．
(2)【拓展延伸】如图3，将【问题情境】中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，连接BF并延长，交AC于点H，交AD于点O，连接BD，AF．若AC=4，BC=3，CD=，CF=1，求的值．

9 . 如图，点B、C分别在射线AM、AN上，且∠MAN为锐角，∠MAN内有一动点P，使得∠BPC＝90°．

(1)若∠MAN＝45°，且∠APB＝∠APC．
①求证：△CPA∽△APB；
②连接BC，若BC⊥AC，求的值；
(2)若∠CBP＝∠BAP＝30°，AP＝3，AB＝8，求AC的长．

10 . 如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且，平分，与交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长；
(3)延长，交于点，若，求的半径．