1 . 【问题解决】（1）如图①，正方形
的对角线相交于点O，过点O作
，分别交
，
边于点E，F．在实验与探究中，小红发现通过证明
，可得
．请帮助小红完成证明过程；
【类比探究】（2）如图②，在矩形中，O为对角线
上任意一点，过点O作
，交边于点F，当
时，求证：
；
【拓展提升】（3）如图③，在平行四边形中，O为对角线上任意一点，过点O作
．交边于点F，求证：
．
的对角线相交于点O，过点O作，分别交，边于点E，F．在实验与探究中，小红发现通过证明，可得．请帮助小红完成证明过程；【类比探究】（2）如图②，在矩形
中，O为对角线上任意一点，过点O作，交边于点F，当时，求证：；【拓展提升】（3）如图③，在平行四边形
中，O为对角线上任意一点，过点O作．交边于点F，求证：．
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2 . 若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的夹角称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角．
已知：如图1，直线
与
相交于点
，过点
作的切线
，点
为上任一点，连接
．求证：
______．
(2)如图2，直线与相交于，
为的直径，切于点，交
的延长线于点，若
，
，求的半径．
已知：如图1，直线
与相交于点，过点作的切线，点为上任一点，连接．求证： ______．(2)如图2，直线
与相交于，为的直径，切于点，交的延长线于点，若，，求的半径．
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3 . 【例题探究】数学课上，老师给出一道例题，如图
，点在的延长线上，且
，若求证：
；请用你所学的知识进行证明．
【拓展训练】
如图
，点在的延长线上，且
，若
，
，
，则
的值为______；（直接写出）
【知识迁移】
将此模型迁移到平行四边形中，如图
，在平行四边形中，
为边上的一点，
为边上的一点
若
求证：
．
，点在的延长线上，且，若求证：；请用你所学的知识进行证明．【拓展训练】
如图
，点在的延长线上，且，若，，，则的值为______；（直接写出） 【知识迁移】
将此模型迁移到平行四边形中，如图
，在平行四边形中，为边上的一点，为边上的一点若求证：．
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2024-01-22更新
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198次组卷
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3卷引用：贵州省黔西南布依族苗族自治州兴仁市真武山街道办事处黔龙学校2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题
贵州省黔西南布依族苗族自治州兴仁市真武山街道办事处黔龙学校2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题2023年山东省泰安市高新区中考数学三模试题（已下线）专题11 四边形压轴题综合-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）
4 . 在
中，
，点
在线段上，
，
交
于点
，过点作
，垂足为，交
的延长线于点．
(1)如果
，如图①，当点与点重合时，求证：
；
(2)在（1）的条件下，当点在线段上，且不与点，重合时，如图②，小明想要求证
，他发现过点作
交于点
，交
于点
后，就可以借助第（1）题的结论来解决此题，请你按照他的思路完成证明过程；
(3)如果
，如图③，已知
（
为正数），当点在线段上，且不与点，重合时，请探究
的值（用含的式子表示），并写出你的探究过程．
中，，点在线段上，，交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)如果
，如图①，当点与点重合时，求证：；(2)在（1）的条件下，当点
在线段上，且不与点，重合时，如图②，小明想要求证，他发现过点作交于点，交于点后，就可以借助第（1）题的结论来解决此题，请你按照他的思路完成证明过程；(3)如果
，如图③，已知（为正数），当点在线段上，且不与点，重合时，请探究的值（用含的式子表示），并写出你的探究过程．
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5 . 数学课上，李老师提出了一个问题：在矩形中，
，
，在边上取一点M使
，将
绕点A顺时针旋转
度到
，以为边作矩形
（如图1所示），
，连接
、
交于点N．
(1)求证：
．小明经过思考后，很快得到了解题思路：先用“两边对应成比例且夹角相等”证明
，然后根据“直角三角形两锐角互余”可证明
，从而得到．请你按照他的思路完成证明过程．
(2)连接
，当旋转角
时（如图2），求
的值．
(3)连接（如图3），当
时，小明发现
是一个定值，请求出这个值．
中，，，在边上取一点M使，将绕点A顺时针旋转度到，以为边作矩形（如图1所示），，连接、交于点N． (1)求证：
．小明经过思考后，很快得到了解题思路：先用“两边对应成比例且夹角相等”证明，然后根据“直角三角形两锐角互余”可证明，从而得到．请你按照他的思路完成证明过程．(2)连接
，当旋转角时（如图2），求的值．(3)连接
（如图3），当时，小明发现是一个定值，请求出这个值．
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2023-05-28更新
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119次组卷
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2卷引用：2023年贵州省遵义市红花岗区中考二模数学试题
6 . 综合与实践
提出问题：在一次数学活动课的学习中，小明同学发现：“等边三角形外接圆上任意一点到三个顶点的距离的平方和等于边长平方的两倍”
(1)初步探究：如图①，
为等边三角形，是外接圆
上任意一点，证明
的思路如下，图②中，在
上截取
，连接，先证明
为等边三角形，再证明
，由此得出．请写出的证明过程
(2)继续探究：如图②，设
，
，
，
，求证
(3)拓展探究：如图③，点为正六边形
的外接圆上一点，设
，
，
，
，
，
，
．试探究
，
，
，
，
，
与之间的数量关系
提出问题：在一次数学活动课的学习中，小明同学发现：“等边三角形外接圆上任意一点到三个顶点的距离的平方和等于边长平方的两倍”
(1)初步探究：如图①，
为等边三角形，是外接圆上任意一点，证明的思路如下，图②中，在上截取，连接，先证明为等边三角形，再证明，由此得出．请写出的证明过程(2)继续探究：如图②，设
，，，，求证(3)拓展探究：如图③，点
为正六边形的外接圆上一点，设，，，，，，．试探究，，，，，与之间的数量关系
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2023·贵州遵义·三模
7 . 【初步发现】如图1，在中，
，
．点D，E分别在边AC，AB上，且
，则
______ ．
【探究证明】如图2，在中，，
．将
绕点A旋转一定的角度后的图形是
，连接
，
，求
的值．
【综合拓展】如图3，在矩形中，
，
，M为
的中点，求证：
．
中，，．点D，E分别在边AC，AB上，且，则 【探究证明】如图2，在
中，，．将绕点A旋转一定的角度后的图形是，连接，，求的值． 【综合拓展】如图3，在矩形
中，，，M为的中点，求证：．
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8 . 图形的探究中，常用三角形通过一些图形变换，将图形拼在一起，以探究其线段，角之间的关系，小李用两个三角形，
，
，
．开展如下的探究活动：
[探究1]如图1，两个三角形如图1摆放，点B在CD上时，求证：
；
[探究2]如图2，将
绕点C逆时针旋转旋转
，过点D作
交AB于点F．线段DF与AF有何数量关系？并说明理由；
[探究3]在探究2的条件下，若AB分别交CD于M，AB的延长线CE于点P（如图3），线段PM，PF，PA有何数量关系，并加以证明．
，，．开展如下的探究活动：[探究1]如图1，两个三角形如图1摆放，点B在CD上时，求证：
；[探究2]如图2，将
绕点C逆时针旋转旋转，过点D作交AB于点F．线段DF与AF有何数量关系？并说明理由；[探究3]在探究2的条件下，若AB分别交CD于M，AB的延长线CE于点P（如图3），线段PM，PF，PA有何数量关系，并加以证明．
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真题
名校
9 . 矩形ABCD中，
＝
（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
(1)【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
(2)【类比探究】如图（2），当k≠2时，求
的值（用含k的式子表示）；
(3)【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，
，求BC的长．
＝（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．(1)【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH． ∵k＝2， ∴AB＝BC． ∵∠B＝90°，BH＝BE， ∴∠1＝∠2＝45°， ∴∠AHE＝180°-∠1＝135°． ∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°， ∴∠3＝  ∠DCG＝45°．∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°． ∴…… （只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程） |
的值（用含k的式子表示）；(3)【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，
，求BC的长．
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2022-09-01更新
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2013次组卷
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12卷引用：2023年贵州省黔东南十八校中考联考数学模拟预测题（一）
2023年贵州省黔东南十八校中考联考数学模拟预测题（一）2022年湖北省襄阳市中考数学真题广东省深圳市福田外国语学校2022-2023学年九年级上学期第一次质检数学试卷广西壮族自治区南宁市西乡塘区广西大学附属中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学试题（已下线）第27章相似01讲核心（已下线）黄金卷3-【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（陕西专用）（已下线）黄金卷01-【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（江苏南通专用）2023年河南省安阳市滑县中考二模数学试题（已下线）2023年湖北省中考数学真题变式题21-24题（已下线）2023年河南省二模（几何综合1）江西省吉安市吉安县城北中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（已下线）第5讲 探究题
真题
10 . 如图，在四边形中，对角线
与相交于点O，记
的面积为
，
的面积为
．
（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若与
不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在
上取一点E，使
，过点E作
交
于点F，点H为的中点，
交
于点G，且
，若
，求
值．
中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若
与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在
上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值．
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