2 . 如图，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．

   

(1)求点和点的坐标；
(2)求线段的最大值及此时点的坐标；
(3)当最大时，在二次函数的图象上是否存在点，使以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由．

3 . 如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接．将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为．
   
(1)[问题发现]
①当时，______；
②当时，的值是多少？请给出证明过程．
(2)[拓展研究]
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
(3)[问题解决]
在旋转过程中，的最大值是多少？请直接写出答案．

4 . 如图，已知抛物线经过两点，，C是抛物线与y轴的交点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点N在y轴正半轴上运动，是否存在点N使得与相似，如果存在，请求出点N的坐标；
(3)点P的横坐标为m，且在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式和S的最大值．

5 . 已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点.

(1)求抛物线解析式；
(2)如图①，若点是第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，求线段长的最大值
(3)如图②，若点是抛物线上另一动点，点是平面内一点，是否存在以点、、、为顶点，且以为边的矩形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由

6 . 已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的函数解析式．
(2)如图1，点D在抛物线上，过点D作轴，交直线BC于点E，交x轴于点F，设点D的横坐标为m，且，求线段DE长度的最大值．
(3)如图2，设M为抛物线的顶点，，在y轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

7 . 如图，已知抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C(0，－2)．

(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AC，BC，若点P是抛物线上一点(不与点C重合)，且S_△ABC＝S_△ABP，求点P的坐标；
(3)点D为抛物线在第四象限上一点，连接AD，交BC于点E，连接BD，记△BDE的面积为S₁，记△BAE的面积为S₂，求的最大值．

8 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点．

(1)当时，直接写出点，，，的坐标；
(2)如图1，直线交轴于点，若，求的值及直线的解析式；
(3)如图2，在（2）的条件下，若点为的中点，连接，动点在第二象限的抛物线上运动，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，过点作，垂足为，求的最大值．

10 . 如图，已知正方形ABCD的边长为4、点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG、顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP＝1，则AE＝　       ；
（2）①点O与△APE的位置关系是　 　，并说明理由；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，线段AE的大小也在改变，当AP＝　      ，AE达到最大值，最大值是　      ．