1 . 综合与实践
如图，
是
的切线，
为切点，
是圆上与不重合的两点．
（1）如图1，若
是直径，
，则
________．
问题探究
（2）如图2，当
为上任意一点时，
与
有怎样的关系?并加以证明．
拓展运用
（3）如图3，的半径是2，
，求
的大小．
如图，
是的切线，为切点，是圆上与不重合的两点．
（1）如图1，若
是直径，，则________．问题探究
（2）如图2，当
为上任意一点时，与有怎样的关系?并加以证明．拓展运用
（3）如图3，
的半径是2，，求的大小．
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2024-04-03更新
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54次组卷
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2卷引用：贵州省遵义市新蒲新区2023年初中生毕业认定测试九年级数学模拟预测题
2 . 在
中，
，D、E分别时、
边上的点，
．将
绕点A旋转．
（一）发现问题
（1）如图①，、
、
满足的数量关系为________；
（二）探究问题
（2）如图②，
，
相交于点M，连接
，求证：
平分
；
（三）拓展应用
（3）如图③，在四边形
中，
，
，
，求的度数．
中，，D、E分别时、边上的点，．将绕点A旋转．（一）发现问题
（1）如图①，
、、满足的数量关系为________；（二）探究问题
（2）如图②，
，相交于点M，连接，求证：平分；（三）拓展应用
（3）如图③，在四边形
中，，，，求的度数．
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3 . 在
中，
，点在直线
上，直线与
的夹角为
， 且
，分别过点
，作直线的垂线，垂足分别为
，
．
如图
，若
，则的度数为________，
的值为______；
(2)【问题探究】
如图
，若
，判断的值是否发生变化？并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图
，， 交于点
， 点在线段上 ，
，
，求线段的长．
中，，点在直线上，直线与的夹角为， 且，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，．
如图
，若，则的度数为________，的值为______；(2)【问题探究】
如图
，若，判断的值是否发生变化？并说明理由；(3)【拓展延伸】
如图
，， 交于点， 点在线段上 ，，，求线段的长．
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4 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（
）如图，在正方形中，点
分别是
上的两点，连接
，
，则
的值为__________．
（
）如图，在矩形中，
，
，点是
上的一点，连接
，且
，则
的值为__________；
【类比探究】
（
）如图，在四边形中，
，点为上一点，连接
，过点作的垂线交
的延长线于点
，交的延长线于点，求证：
．
【拓展延伸】
（
）如图，在
中，
，
，
，将
沿翻折，点落在点处得
，点分别在边上，连接，
，
．求的值．
（
）如图，在正方形中，点分别是上的两点，连接，，则的值为__________．（
）如图，在矩形中，，，点是上的一点，连接，且，则的值为__________；【类比探究】
（
）如图，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：．【拓展延伸】
（
）如图，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点分别在边上，连接，，．求的值．
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2024-05-12更新
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246次组卷
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3卷引用：2023学年贵州省铜仁市碧江区铜仁学院附属中学九年级下学期第5次模拟预测题
2023学年贵州省铜仁市碧江区铜仁学院附属中学九年级下学期第5次模拟预测题2024年广东省阳江市阳春市中考一模数学试题（已下线）考前特训03 几何解答题探究综合压轴题-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）
5 . 已知，如图①，四边形是矩形，对角线
相交于点O，
．
在图①中，根据给出的条件，直接写出一条未知线段的长度或一个角的大小；
(2)【问题探究】
如图②，在矩形中，点P是对角线上的一个动点，连接，过点P作
交于点E，连接
，在点P运动的过程中试探究
的大小，并写出证明过程；
(3)【拓展延伸】
如图③，在矩形中，点P是对角线上的一个动点，连接，在的左下方作
，使
，
，在点P从点B向点D的运动过程中，猜想点Q的运动路径并求出它的长度．
是矩形，对角线相交于点O，．
在图①中，根据给出的条件，直接写出一条未知线段的长度或一个角的大小；
(2)【问题探究】
如图②，在矩形
中，点P是对角线上的一个动点，连接，过点P作交于点E，连接，在点P运动的过程中试探究的大小，并写出证明过程；(3)【拓展延伸】
如图③，在矩形
中，点P是对角线上的一个动点，连接，在的左下方作，使，，在点P从点B向点D的运动过程中，猜想点Q的运动路径并求出它的长度．
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2024-04-16更新
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121次组卷
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2卷引用：2023年贵州省统一命题中考数学模拟预测题
6 . 点
在四边形的对角线上，直角三角板
绕直角顶点旋转，其边
、
分别交、
边于点
、
．
操作发现：如图①，若四边形是正方形，当
时，可知四边形
是正方形，显然
．当
与不垂直时，判断确定、
之间的数量关系；______．（直接写出结论即可）
类比探究：如图②，若四边形是矩形，试说明
．
拓展应用：如图③，改变四边形、的形状，其他条件不变，且满足
，
，
，
时，求
的值．
在四边形的对角线上，直角三角板绕直角顶点旋转，其边、分别交、边于点、．操作发现：如图①，若四边形
是正方形，当时，可知四边形是正方形，显然．当与不垂直时，判断确定、之间的数量关系；______．（直接写出结论即可）类比探究：如图②，若四边形
是矩形，试说明．拓展应用：如图③，改变四边形
、的形状，其他条件不变，且满足，，，时，求的值．
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2023-03-13更新
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283次组卷
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6卷引用：2023年贵州铜仁第五中学中考数学一模试题
7 . 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在中，
，
，D是边上一点，且
（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．
【初步感知】
（1）如图1，当
时，兴趣小组探究得出结论：
，请写出证明过程．
【深入探究】
（2）如图2，当
，且点F在线段上时，试探究线段
之间的数量关系，请写出结论并证明．
【拓展运用】
（3）请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．
在
中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．【初步感知】
（1）如图1，当
时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．【深入探究】
（2）如图2，当
，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明．【拓展运用】
（3）请通过类比、归纳、猜想，探究出线段
之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．
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名校
8 . 【问题发现】
（1）如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段，之间的数量关系为 ；
；
【类比探究】
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，
，，
，B、D、E三点共线，线段
、交于点F．此时，线段，之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出
的度数；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，在中，
，
，
， 为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．
（1）如图1所示，
和均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段，之间的数量关系为 ； ；【类比探究】
（2）如图2所示，
和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段，之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；【拓展延伸】
（3）如图3所示，在
中，，，， 为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．
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2024-03-24更新
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449次组卷
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18卷引用：2023年贵州省遵义市第十二中学九年级下学期第一次模拟数学试题
2023年贵州省遵义市第十二中学九年级下学期第一次模拟数学试题山东省济南市历下区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题2023年山东省济南市历城区中考二模数学试题2023年山东省泰安市泰山博文中学二模数学试题2023年广东省广州市白云区华赋学校中考二模数学试题广东省深圳市龙岗区翠枫学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题广东省深圳市龙岗区塘坑学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题2023年山东省济南市章丘区博雅新世纪实验学校中考三模数学试题（已下线）2023年广州等市二模（几何综合）（已下线）2023年济南二模（几何综合）河北省石家庄市2023-2024学年九年级上学期期末模拟数学试题山东省青岛市市南区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题河南省驻马店市新蔡县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题山东省济南市历下区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题2024年山东省青岛市中考数学一模模拟试题2023年山东省济南市章丘区新世纪博雅实验学校中考数学三模模拟试题2024年河南省中考数学复习模拟试题（九）2024年广西中考数学一模模拟预测题
9 . 如图1，在中，
，
，
，点
分别是边
的中点，连接．将
绕点逆时针方向旋转，记旋转角为
．
当
时，
______；当
时，______．
(2)拓展探究
试判断：当
时，
的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
(3)问题解决
绕点逆时针旋转至
三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长______．
中，，，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
当时，______；当时，______．(2)拓展探究
试判断：当
时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．(3)问题解决
绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长______．
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2023-02-11更新
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876次组卷
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29卷引用：贵州省贵阳市贵安区高峰中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
贵州省贵阳市贵安区高峰中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题2020年内蒙古省包头市中考数学4月模拟试题2020年山东省济南市平阴县中考数学一模试题2020年河南省郑州市市直学校中考数学一模试题2020年山东省德州市乐陵县九年级数学中考三模试题（已下线）【万唯原创】河南省中考数学-河南缺题-类比探究中（已下线）手拉手模型河南省南阳市镇平县2020-2021学年九年级上学期期中数学试题山东省菏泽市单县2020-2021学年九年级下学期期中数学试题（二模）（已下线）第二十三章 图形的变换（能力提升）-2021-2022学年京改版九年级数学下册单元测试卷（已下线）专题27.17+相似三角形的性质（培优篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）山东省济南市平阴县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题山东省济南市济南中学2021-2022学年 九年级上学期数学期中考试卷（已下线）专题19 以三角形为载体的几何综合探究问题河南省郑州市中原区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题山东省济南市天桥区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题河南省郑州市第二中学2022-2023学年九年级上学期期中数学测试卷河南省郑州市二七区第二初级中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题陕西省宝鸡市凤翔区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷2023年山东省东营市东营区实验中学（五四制）九年级中考一模数学试题（已下线）2023年陕西省延安市中考数学第一次模拟考试卷变式题21-26题（已下线）专题16 几何综合压轴-学易金卷：2023年中考数学一模试题分项汇编（山东专用）河南省驻马店市平舆县完全中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题山东省东营市广饶县李鹊镇初级中学2022-2023学年八年级下学期第二次阶段限时作业数学试题湖北省武汉市培英中学2021-2022学年九年级下学期月考数学试题河北省石家庄市第八十一中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（已下线）专题4.46 相似三角形几何模型（旋转模型）（培优练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）山东省济南市商河县四校2023-22024学年九年级上学期期中考试数学试题2024年内蒙古包头市中考数学模拟试题
10 . A4纸是由国际标准化组织的
定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入
(编号是
)，虽然其中一些格式法国在同一时期也自行研发出来，不过之后就被遗忘了．定义了 A、B、C 三组纸张尺寸．
纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较长边与较短边的比为 ．
(2)探究迁移；将一张纸沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在
上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点E．点E是否为的中点?请说明理由．
(3)拓展应用；利用一张纸经过裁剪获得一张边长为
的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕
，连接，将
折叠到上，点B对应点H，得折痕
．试说明：G是的黄金分割点．
定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入(编号是)，虽然其中一些格式法国在同一时期也自行研发出来，不过之后就被遗忘了．定义了 A、B、C 三组纸张尺寸．
纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较长边与较短边的比为 ．(2)探究迁移；将一张
纸沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点E．点E是否为的中点?请说明理由．(3)拓展应用；利用一张
纸经过裁剪获得一张边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明：G是的黄金分割点．
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2024-05-05更新
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139次组卷
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3卷引用：2024年贵州省黔东南州九年级数学中考模拟测试卷（一）
2024年贵州省黔东南州九年级数学中考模拟测试卷（一）2024年江苏省徐州市睢宁县第二中学中考模拟数学模拟预测题（4月）（已下线）重难点05 几何压轴综合(8大题型+满分技巧+限时分层检测)-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）
