1 . 【综合与实践】
在一次综合实践活动课上，张老师组织学生开展“如何仅通过折纸的方法来确定特殊平行四边形纸片一边上的三等分点”的探究活动．
【操作探究】
“求知”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，对正方形进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：将边沿翻折到的位置；
第3步：延长交于点H，则点H为边的三等分点．
证明过程如下：连接，
∵正方形沿折叠，
∴①            ，
又∵，
∴，
∴．
由题意可知E是的中点，设，则，
在中，可列方程：②       ，(方程不要求化简)
解得：③          ，即H是边的三等分点．
“励志”小组对矩形纸片进行了如下操作：
第1步：如图2所示，先将矩形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：再将矩形纸片沿对角线翻折，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点G；
第3步：过点G折叠矩形纸片，使折痕．

【过程思考】
（1）“求知”小组的证明过程中，三个空所填的内容分别是①：            ，②：            ，③：            ；
（2）“励志”小组经过上述操作，认为点M为边的三等分点，请你判断“励志”小组的结论是否正确，并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形中，，E是上的一个三等分点，记点D关于的对称点为，射线与菱形的边交于点F，请直接写出的长．

2 . 综合与实践

（1）【问题发现】
在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，E为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．通过观察图形，直接写出与的数量关系：            ．
（2）【类比探究】
兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．请判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】
在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长：            ．

4 . 如图(1)，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F．易证四边形是正方形．

(1)推断，的值为     ；
(2)探究与证明：将正方形绕点C顺时针方向旋转α角，如图(2)所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由：
(3)拓展与运用：正方形在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长交于点H．若，．则     

5 . 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图①，已知和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．

(1)观察猜想
小华将绕点逆时针旋转，连接，设的延长线交于点，如图②，当点与点重合时；
①的值为______；
②的度数为______度．
(2)类比探究
如图③，小芳在小华的基础上继续旋转，连接，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)拓展延伸
若，当所在的直线垂直于时，直接写出的长．

6 . 【问题发现】如图1所示，将绕点A逆时针旋转得，连接、．根据条件填空：①的度数为______；②若，则的值为______；
【类比探究】如图2所示，在正方形中，点E在边上，点F在边上，且满足，求正方形的边长；
【拓展延伸】如图3所示，在四边形中，，，为对角线，且满足，若，请直接写出的值．

7 . 综合与实践
已知在中，，，，为上一点，过点作射线，分别交于点．

(1)观察判断：当为的中点，且，时，如图，______．
(2)类比探究：若为的中点，将绕点旋转到图2位置时，对比（），的值是否保持不变？请说明理由．
(3)拓展应用：若改变点的位置，且时，如图，直接写出的值（用含的式子表示）

8 . 综合与实践
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在中（），点P是边上一点．将沿直线折叠，点D的对应点为E．
数学思考：
（1）“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形的形状一定是        （选填“菱形”“矩形”或“正方形”）；
拓展探究：
（2）“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由；
问题解决：
（3）“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在的边上时，，，，直接写出BE的长．

       

10 . （1）尝试探究：如图①，在中，，点分别是边上的点，且．
①的值为 ；
②直线与直线的位置关系为 ；
（2）类比延伸：如图②，若将图①中的绕点C顺时针旋转，连接，则在旋转的过程中，请求的值并判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
（3）拓展运用：若，在图②旋转过程中，三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长．