1 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中,对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究:
【观察与猜想】(1)如图 1,在正方形中,点 E、 F分别是 、上的两点,连接、 ,,则的值为 ;
【类比探究】(2)如图 2 ,在矩形 中, ,点 E是 上的一点,连接、 ,且,求的值;
【拓展延伸】(3)如图3,在四边形中,,,,点E为 上一点,连接,过点 C作的垂线交的延长线于点 G,交 的延长线于点 F,求的值;
【观察与猜想】(1)如图 1,在正方形中,点 E、 F分别是 、上的两点,连接、 ,,则的值为 ;
【类比探究】(2)如图 2 ,在矩形 中, ,点 E是 上的一点,连接、 ,且,求的值;
【拓展延伸】(3)如图3,在四边形中,,,,点E为 上一点,连接,过点 C作的垂线交的延长线于点 G,交 的延长线于点 F,求的值;
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名校
2 . 【问题情境】:
(1)如图1,四边形是正方形,点是边上的一个动点,以为边在的右侧作正方形,连接,则与的数量关系是______.
【类比探究】:
(2)如图2,四边形是矩形,,,点是边上的一个动点,以为边在的右侧作矩形,且,连接、.判断线段与有怎样的数量关系,并说明理由:
【拓展提升】:
(3)如图3,在(2)的条件下,连接,求的最小值.
(1)如图1,四边形是正方形,点是边上的一个动点,以为边在的右侧作正方形,连接,则与的数量关系是______.
【类比探究】:
(2)如图2,四边形是矩形,,,点是边上的一个动点,以为边在的右侧作矩形,且,连接、.判断线段与有怎样的数量关系,并说明理由:
【拓展提升】:
(3)如图3,在(2)的条件下,连接,求的最小值.
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2023-12-28更新
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180次组卷
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7卷引用:湖南省衡阳市衡南县第一中学2022-2023学年九年级上学期五科联赛数学试题
解题方法
3 . 如图1,在中,,,D,E分别为AB,BC边上的点,连接DE,且,将绕点B在平面内旋转.
(1)观察猜想:若,将绕点B旋转至如图2所示的位置,则______;
(2)类比探究:若将绕点B旋转至如图3所示的位置,求的值;
(3)拓展应用:若,D为AB的中点,,如图4,将绕点B旋转至如图5所示位置,请直接写出线段的长.
(1)观察猜想:若,将绕点B旋转至如图2所示的位置,则______;
(2)类比探究:若将绕点B旋转至如图3所示的位置,求的值;
(3)拓展应用:若,D为AB的中点,,如图4,将绕点B旋转至如图5所示位置,请直接写出线段的长.
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4 . 【问题情境】
如图1,小明把三角板()放置到矩形中,使得顶点E、F、G分别落在、、上,你发现线段与有什么数量关系?
直接写出结论:______(不用证明).
【变式探究】
如图2,小明把三角板()放置到矩形中,使得顶点E、F、G分别在边上,若,,求的长.
【拓展应用】
如图3,小明把三角形放置到平行四边形中,使得顶点E、F、G分别落在边上,若,,,求出的值.
如图1,小明把三角板()放置到矩形中,使得顶点E、F、G分别落在、、上,你发现线段与有什么数量关系?
直接写出结论:______(不用证明).
【变式探究】
如图2,小明把三角板()放置到矩形中,使得顶点E、F、G分别在边上,若,,求的长.
【拓展应用】
如图3,小明把三角形放置到平行四边形中,使得顶点E、F、G分别落在边上,若,,,求出的值.
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2023-12-06更新
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73次组卷
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2卷引用:湖南省岳阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
5 . 【问题呈现】
如图,和是有公共顶点的直角三角形,,点P为射线、的交点.探究,的位置关系.【问题探究】
(1)如图1,若和是等腰直角三角形,求证:;
(2)如图2,若,(1)中结论是否仍然成立?请说明理由;
【拓展应用】
(3)在(1)的条件下,,,将绕点A旋转,使点E恰好落在线段上,请直接写出此时的长度.
如图,和是有公共顶点的直角三角形,,点P为射线、的交点.探究,的位置关系.【问题探究】
(1)如图1,若和是等腰直角三角形,求证:;
(2)如图2,若,(1)中结论是否仍然成立?请说明理由;
【拓展应用】
(3)在(1)的条件下,,,将绕点A旋转,使点E恰好落在线段上,请直接写出此时的长度.
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6 . 和的顶点重合,,,,.
(2)探究证明:如图2,将图1中的绕点顺时针旋转,使点恰好落在线段上,连接,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明:若不成立,请说明理由;
(3)拓展运用:如图3,将图1中的绕点顺时针旋转,点在的外部,连接、,当时,请你利用第(2)题的结论,求的值.
(1)特例发现:如图1,当点,分别在,上时,可以得出结论:________,直线与直线的位置关系是________.
(2)探究证明:如图2,将图1中的绕点顺时针旋转,使点恰好落在线段上,连接,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明:若不成立,请说明理由;
(3)拓展运用:如图3,将图1中的绕点顺时针旋转,点在的外部,连接、,当时,请你利用第(2)题的结论,求的值.
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2023·山东泰安·二模
7 . 点P在四边形的对角线上,直角三角板绕直角顶点P旋转,其边、分别交、边于点M、N.
(1)【操作发现】
如图①,若四边形是正方形,当时,可知四边形是正方形,显然.当与不垂直时,判断确定、之间的数量关系; .(直接写出结论即可)
(2)【类比探究】
如图②,若四边形是矩形,试说明.
(3)【拓展应用】
如图③,改变四边形、的形状,使四边形内接于圆,其他条件不变,且满足,, 时,求的值.
(1)【操作发现】
如图①,若四边形是正方形,当时,可知四边形是正方形,显然.当与不垂直时,判断确定、之间的数量关系; .(直接写出结论即可)
(2)【类比探究】
如图②,若四边形是矩形,试说明.
(3)【拓展应用】
如图③,改变四边形、的形状,使四边形内接于圆,其他条件不变,且满足,, 时,求的值.
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8 . 【问题呈现】
和都是直角三角形,,,,连接,,探究,的位置关系.
(1)如图1,当时,直接写出,的位置关系: __________;
(2)如图2,当时,(1)中的结论是否成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
【拓展应用】
(3)当,,时,将绕点C旋转,使A,D,E三点恰好在同一直线上,求的长.
和都是直角三角形,,,,连接,,探究,的位置关系.
(1)如图1,当时,直接写出,的位置关系: __________;
(2)如图2,当时,(1)中的结论是否成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
【拓展应用】
(3)当,,时,将绕点C旋转,使A,D,E三点恰好在同一直线上,求的长.
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2024-02-08更新
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89次组卷
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2卷引用:湖南省永州市零陵区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
名校
解题方法
9 . (1)问题探究;如图1,在正方形中,点E,Q分别在边上,于点O,点G,F分别在边上,.
①判断与的数量关系:______;②推断:的值为________;
(2)类比探究,如图(2),在矩形中,(k为常数),将矩形沿折叠,使点A落在边上的点E处,得到四边形交于点H,连接交于点O.试探究与之间的数量关系,并说明理由;
(3)拓展应用.如图3,四边形ABCD中,,点M、N分别在边上,求的值.
①判断与的数量关系:______;②推断:的值为________;
(2)类比探究,如图(2),在矩形中,(k为常数),将矩形沿折叠,使点A落在边上的点E处,得到四边形交于点H,连接交于点O.试探究与之间的数量关系,并说明理由;
(3)拓展应用.如图3,四边形ABCD中,,点M、N分别在边上,求的值.
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2023-10-08更新
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358次组卷
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6卷引用:湖南岳阳市城区二十六校2019-2020学年九年级第二次联考数学试题
10 . 问题提出
如图(),在和中,,,,点在内部,直线与交于点.线段,,之间存在怎样的数量关系?问题探究
()先将问题特殊化如图(),当点,重合时,易证(),请利用全等探究,,之间的数量关系(直接写出结果,不要求写出理由);
()再探究一般情形如图(),当点,不重合时,证明()中的结论仍然成立.
问题拓展
()如图(),在和中,,,(是常数),点在内部,直线与交于点.直接写出一个等式,表示,,之间的数量关系.
如图(),在和中,,,,点在内部,直线与交于点.线段,,之间存在怎样的数量关系?问题探究
()先将问题特殊化如图(),当点,重合时,易证(),请利用全等探究,,之间的数量关系(直接写出结果,不要求写出理由);
()再探究一般情形如图(),当点,不重合时,证明()中的结论仍然成立.
问题拓展
()如图(),在和中,,,(是常数),点在内部,直线与交于点.直接写出一个等式,表示,,之间的数量关系.
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