3 . 如图（1），在矩形中，，点，分别在边，上（均不与端点重合)，且，以和为邻边作矩形，连接，．

（1）如图（2），当时，与的数量关系为______，与的数量关系为______．
【类比探究】
（2）如图（3），当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请写出线段的长并说明理由．

4 . （1）发现：如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：；
（2）探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．
（3）拓展：如图③，在菱形中，为边上的一点且，．将沿翻折得到，与交于且，直线交直线于点，求的长．
   

5 . 如图1，在中，，，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．

(1)问题发现
当时，______；当时，______．
(2)拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
(3)问题解决
绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长______．

7 . 问题情境：如图1，在正方形中，为边上一点不与点、重合，垂直于的一条直线分别交、、于点、、．则、、之间的数量关系为　　　　．
问题探究：在“问题情境”的基础上．
如图2，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接，并延长交边于点求的度数；
如图3，当垂足在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处，若正方形的边长为，的中点为，求的最小值．
问题拓展：如图4，在边长为的正方形中，点、分别为边、上的点，将正方形沿着翻折，使得的对应边恰好经过点，交于点分别过点、作，，垂足分别为、,若，请直接写出的长．

9 . 【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．