2 . 某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放．连接，，延长交于点，连接，保持不动，将绕点旋转．

【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请写出，，之间的数量关系并加以证明：
【深入探究】（2）如图1，当点，不重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接，，延长交于点，连接，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
【推广应用】（4）如图，在中，若．连接，、延长交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系：________．

3 . （1）问题发现：如图1，矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，，连接．线段与的数量关系为_____________；
       
（2）拓展探究：如图2，将矩形绕点A逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图2进行说理．
   
（3）解决问题：当矩形的边时，点为直线上异于的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，直接写出的长．

4 . 问题提出如图（1），在中，，,连接，探究．
   
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当时，求的值．
（2）再探究一般情形．如图（1），当时，求的值；
问题拓展
如图（3），在中，，，P是内一点，，交于F，当的面积最大时，求的值．

6 . 解答
(1)问题发现：如图1，在和中，，，点是线段上一动点，连接．填空：
①的值为______；
②的度数为______．
(2)类比探究：如图2，在和中，，，点是线段上一动点，连接．请判断的值及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点，连接、，若，则当是直角三角形时，线段的长是多少？请直接写出答案．

8 . 【性质探究】
如图，在矩形中，对角线，相交于点O，平分，交于点E．作于点H，分别交，于点F，G．
（1）直接写________（填图中一条线段）
（2）求证：．
【迁移应用】
（3）记的面积为，的面积为，当时，求的值．
【拓展延伸】
（4）若交射线于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连接，当的面积为矩形面积的时，请直接写出的值．
   

9 . 如图（1），在矩形中，，点，分别在边，上（均不与端点重合)，且，以和为邻边作矩形，连接，．

（1）如图（2），当时，与的数量关系为______，与的数量关系为______．
【类比探究】
（2）如图（3），当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请写出线段的长并说明理由．

10 . 《九章算术》勾股章一五问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题∶知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“勾容正方形”）
其文如下：
题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？
答：方三步，十七分步之九．
术：并勾、股为法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一步．
“题”、“答”、“术”的意思大致如下∶
问题：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的“勾容正方形”的边长是多少？
答案：
解法：
（1）问题探究
根据“勾股容方”中描述的直角三角形与其“勾容正方形”之间的关系，请提出一个数学命题，并证明；
（2）类比探究
“勾股容圆”：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的内切圆的半径是多少？
（3）拓展运用
某市去年举办中小学校园文化展览，举办方在某广场搭建了一个展馆（平面示意图为正方形），并综合考虑参展主题、参展单位等因素将展馆划分为四个展区，规划方案如图所示，其中，是的中点，点，在边上，垂直平分，垂足为，．
今年，为了让更多人参与，举办方拟在北湖公园的一块菱形场地上搭建展馆，该菱形场地面积为，且两条对角线长度之和为，考虑到展览安全、公园环境等各方面的因素，若举办方希望沿用去年展馆及展区的规划方案，则展馆的建设需满足以下要求：①展馆平面示意图中的A，B，C，D四个点分别落在菱形场地的四条边上；②展馆主入口的宽度为，去年的规划方案是否可行？请说明理由．