1 . 【问题背景】
如图①，在矩形中，，，点为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点落在边上的点处．
【问题解决】
（1）的长为________；
（2）如图②，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到，与交于点，求线段的长；
【拓展探究】
（3）将图①中的绕点旋转得（点、的对应点分别为点、），当、、三点共线时，请直接写出的长．

2 . 【模型建立】：如图1，在正方形中，E，F分别是边上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．

（1）小宋的探究思路如下：延长到点G，使，连接，先证明，再证明．之间的数量关系为______．若，则______．
【模型应用】：
（2）如图2，在矩形中，，点F为中点，，求的长．
【拓展提升】：
（3）通过对图2的分析，小宋同学在深入思考后，他发现一个很有意思的结论，若，且，则______．（用含a、b的代数式表示）

3 . 华师版八年级下册数学教材第页习题第小题及参考答案．

如图，在正方形中，求证：． ‍ 证明：设与交于点， ‍四边形是正方形， ‍，． ‍， ‍， ‍． ‍． ‍， ‍． ‍．

某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．

【问题探究】
（1）如图，在正方形中，点、、、分别在线段、、、上，且试猜想的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】
（2）如图，在矩形中，，，点、、、分别在线段、、、上，且则     ．
【拓展应用】
（3）如图，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且．求的值．

4 . 已知和均为等腰三角形，，，，点、分别为、的中点，连接、、、．
【猜想】如图①，当点在上时，线段和的大小关系是______；
【探究】如图②，把绕着点旋转一定的角度时，线段和的大小关系是什么？说明理由；
【拓展】如图③，和均为直角三角形，，且，，，点、分别为、的中点，连接、，当时，的面积是______．

5 . 【初步感知】如图①，和都是等边三角形，连结，．易知：（不用证朋）；
   
【深入探究】如图②，和是形状相同，大小不同的两个直角三角尺，其中，，连结、．
(1)求的值；
(2)延长交于点，交于点，则______°；
(3)【拓展提升】如图③，和都是直角三角形，，且，连结，．延长交于点，交于点，若，则______．（用含的式子表示）

6 . 【问题呈现】和都是直角三角形，，，，连接、，探究、的位置关系．
【问题探究】
（1）如图①，当时，判断、的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，当时，、的位置关系为______．
【拓展应用】
（3）当，，时，将绕点C旋转、使A，D，E三点恰好在同一直线上，直接写出的长．

7 . 解答
(1)问题发现：如图1，在和中，，，点是线段上一动点，连接．填空：
①的值为______；
②的度数为______．
(2)类比探究：如图2，在和中，，，点是线段上一动点，连接．请判断的值及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点，连接、，若，则当是直角三角形时，线段的长是多少？请直接写出答案．

8 . 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图①，已知和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．

(1)观察猜想
小华将绕点逆时针旋转，连接，设的延长线交于点，如图②，当点与点重合时；
①的值为______；
②的度数为______度．
(2)类比探究
如图③，小芳在小华的基础上继续旋转，连接，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)拓展延伸
若，当所在的直线垂直于时，直接写出的长．

9 . 【证明体验】
（1）如图①，为的角平分线，．点在上，．
求证：平分．

【思考探究】
（2）如图②，在（1）的条件下，为上一点，连结交于点．若，，，求的长．

【拓展延伸】
（3）如图③．在四边形中，对角线平分，．点在上，．若，．直接写出的长．

10 . 【问题探究】如图①，在正方形中，，点为上的点，，连接，点为上的点，过点作交于点，交于点，求的长度．
此问题可以过点作于点，根据正方形的性质及矩形的判定与性质，易证
．根据全等三角形的性质得出， 再由勾股定理可以求得             ；
【类比迁移】如图②，在矩形中，， ， 连接，过的中点作交于点，交于点， 求的长度．
【拓展应用】如图③，李大爷家有一块平行四边形的菜地．记为． 测得 米，米， ．为了管理方便，李大爷沿着对角线开一条小路，过这小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路（小路面积忽略不计）．直接写出新开出的小路的长度．