1 . 问题探究：如图，在Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，点D为线段AB上一动点，连接BE．

（1）求证：△ADC∽△BEC．
（2）求证：∠DBE=90°．
拓展延伸：把问题探究中的“点D为线段AB上一动点”改为“点D为直线AB上一动点”，其他条件不变，若点M为DE的中点，连接BM，且有AD=1，AB=4，请直接写出BM的长度．

3 . 下图是华师版九年级上册数学教材第63页的部分内容．
(1)【教材呈现】

根据教材内容，结合图①，给出例1的完整计算过程．
(2)【感知探究】如图②，是△的中线，连结并延长，交于点，＝，若＝2，则＝          ．
(3)【应用拓展】如图③，在△中，点为边上的一点，且＝，在射线上取一点，使＝，连结并延长交射线于点，若．请直接写出四边形的面积．

4 . 【教材呈现】下图是华师版八年级下册教材第89页的部分内容．

例6：如图18.2.12，G、H是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，E、 F分别是边AB和CD的中点．    图18.2.12 求证：四边形EHFG是平行四边形． 证明：连结EF交AC于点O． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD． 又∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴AE＝CF． 又∵AB∥CD， ∴∠EAO＝∠FCO． 又∵∠AOE＝∠COF, ∴．

请补全上述问题的证明过程．
【探究】如图①，在中，E，O分别是边AB、AC的中点，D、F分别是线段AO、CO的中点，连结DE、EF，将绕点O旋转180°得到，若四边形DEFG的面积为8，则的面积为            　．
【拓展】如图②，GH是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分别是AB和CD的中点．若正方形ABCD的面积为16，则四边形EHFG的面积为            　．

5 . 探究：如图①，点A、点 D在直线BC上方，且 AB⊥BC，DC⊥BC．点E是线段BC上的点，AE⊥DE．求证：△ABE∽△ECD．
应用：如图①，在探究的条件下，若BE=2，CD=4，DE=6，求AE的长．
拓展：如图②，矩形ABCD中，AB=12，BC=8．将矩形ABCD翻折，使点A落在边 CD上的点E处，折痕为MN．若DE=DC，则BN = ________．

6 . 【操作】如图①，在矩形中，为对角线上一点（不与点重合），将沿射线方向平移到的位置，的对应点为．已知（不需要证明）．
【探究】过图①中的点作交延长线于点，连接，其它条件不变，如图②．求证：．
【拓展】将图②中的沿翻折得到，连接，其它条件不变，如图③．当最短时，若,，直接写出的长和此时四边形的周长．

7 . 阅读下列材料，完成相应的任务

数学活动课上，老师提出如下问题： 如图①，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AB＝2，DC＝4，BC＝8，点P为BC边上的动点，求当BP的值是多少时，AP+DP有最小值，最小值是多少． 小丽和小明对老师提出的问题进行了合作探究： 小丽：设BP＝x，则CP＝8﹣x，根据勾股定理，可得AP+DP＝．但没有办法继续求解． 小明：利用轴对称作图，如图②，作点A关于直线BC的对称点A′，连接A′D，与BC交于点P，根据两点之间线段最短，将求AP+DP的最小值转化为求线段A'D的长． 由△A′BP∽△DCP，得＝＝ 所以BP＝． 过点A′作A′H⊥DC，交DC的延长线于点H，再由勾股定理，可得A′D＝＝＝10． 所以当BP＝时，AP+DP有最小值，最小值为10．

任务：
（1）类比探究：对于函数y＝，当x＝　 　时，y有最小值，最小值为　 　．
（2）应用拓展：如图③，若点D在BC上运动，AD⊥BC，AD＝3，BC＝5．连接AB，AC．求△ABC周长的最小值．

8 . 问题情境：在中，，点是的中点，以为角的顶点作．
感知易证：（1）如图1，当射线经过点时，交边于点.将从图1中的位置开始，绕点按逆时针方向旋转，使射线、始终分别交边，于点、，如图2所示，易证，则有．
操作探究：（2）如图2，与是否相似，若相似，请证明；若不相似，请说明理由；
拓展应用：（3）若，直接写出当（2）中的旋转角为多少度时，与相似．

9 . 感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点P在BC边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）

探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．
拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝6，BD＝4，则DE的长为　 　．

10 . 【问题探究】课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在中，，点是边上的一点，，求的长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点作，交的延长线于点，进而求解，请回答下列问题：
（1）___________度；
（2）求的长．
【拓展应用】如图③，在四边形中，，对角线相交于点，且，，则的长为_____________．