1 . 如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为　 　：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC=　 　．

2 . （1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：
①的值为　 　；
②∠AMB的度数为　 　．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

3 . 感知：如图，在中，、E分别是AC、BC的中点，连结则和的面积比是______．
探究：将图中绕点C顺时针旋转，使点E在的内部再连结AD、EE，延长BE交AC于点O、交AD于点F，如图
求证：
求证：；
拓展：将图中的绕点C顺时针旋转，使点D恰好落在BC的延长线上，点E在AC上连结AD、BE，并延长BE交AD与点F，其他条件不变，如图若，，则______．

6 . 【解决问题】如图①，在四边形中，，点E是边的中点，，求证：平分．（提示：延长交射线于点F）

【应用】如图②，在矩形中，点F是边上的一点，将沿直线折叠，若点B落在边的中点E处，则______．
【拓展】在矩形中，，点E为边的中点，将沿直线折叠，得到，延长交直线于点G，直线交边于点H．若，，直接写出的长．

7 . （1）【感悟】如图①，把直角三角板的直角顶点放在破损圆形玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点、，连结，则线段为圆形玻璃镜的直径．此操作体现的数学道理是：                       
（2）【应用】
如图②，、、三点在上且，过点作垂直的切线于点，若，．求的长．
（3）【拓展】
如图③，已知是等边三角形，以为底边在外作等腰，点为的中点，连结，请直接写出的度数．

9 . （1）【定理】如图①，在中，点、分别是与的中点．根据画出的图形，可以得出：
①与位置关系是        ．
②与数量关系是        ．
（2）【定理应用】如图②，已知矩形中，，，点在上从向移动，、、分别是、、的中点，则的长度．
（3）【拓展提升】如图③，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则        ．