4 . 【教材呈现】表格是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容：

如图，在中，点、分别是、的中点，可以猜想：且．

请用演绎推理写出证明过程．
【结论应用】
如图在四边形中，，点是对角线的中点，是中点，是中点，与相交于点求证：；

【拓展延伸】
如图，正方形的边长为，的顶点、分别在边、上运动，，，为边中点，连接则运动过程中的最大值为______ ．

6 . （1）【感悟】如图①，把直角三角板的直角顶点放在破损圆形玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点、，连接，则线段为圆形玻璃镜的直径．此操作体现的数学道理是：______．
（2）【应用】
如图②，、、三点在上且，过点作垂直的切线于点，若，．求的长．
（3）【拓展】
如图③，已知是等边三角形，以为底边在外作等腰，点为的中点，连接，请直接写出的度数．

7 . （1）特殊发现：
如图1，正方形与正方形的顶B重合，、分别在、边上，连接，则有：
①______；
②直线与直线所夹的锐角等于______度；
（2）理解运用
将图1中的正方形绕点B逆时针旋转，连接、，
①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过边的中点O，，直接写出的长等于______；
（3）拓展延伸
如图4，点P是正方形的边上一动点（不与A、B重合），连接，沿将翻折到位置，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，则的值是否是定值？请说明理由．

   

8 . （1）【操作发现】如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．如果将绕点A顺时针方向旋转，点B的对应点为，点C的对应点为，连接，此时______；
（2）【问题解决】在某次数学兴趣小组活动中，小宇和同学遇到了如下问题：如图②，在等边中，点P在内部，且，，，求的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流、对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找、、三边之间的数量关系……请参考他们的想法，完成该问题的解答过程；
（3）【学以致用】如图③，在等边中，，点P在内，，，求的面积；
（4）【思维拓展】如图④，在四边形中，，垂足为E，；，，（k为常数），请直接写出的长（用含k的式子表示）．