名校
1 . 如图，四边形
是菱形，
，点E是
边上一动点，连接
，在右侧作菱形
使得菱形
菱形，连接
交
于点R，连接
．
（1）求证：
；
【深入探究】
（2）若R为中点，求
的值；
【拓展延伸】
（3）①若
，
是等腰三角形，求
的值；
②若D，F，G三点共线，连接
，求
的值．
是菱形，，点E是边上一动点，连接，在右侧作菱形使得菱形菱形，连接交于点R，连接．
（1）求证：
；【深入探究】
（2）若R为
中点，求的值；【拓展延伸】
（3）①若
，是等腰三角形，求的值；②若D，F，G三点共线，连接
，求的值．
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2 . 综合与实践
问题情境：
在数学活动课上，老师给出了这样一个问题：如图①，在正方形纸片中，点E是边
的中点，将
沿
所在的直线折叠，得到
，延长
交于点P，连接
猜想证明：
（1）求证：
；
拓展探究：
如图②，延长
交
于点F．
（2）求证：
；
（3）求
的值．
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3 . 【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形中，
，
分别交，于点
，
，
分别交，于点
，
，求证：
；
【结论应用】
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又
，点
，
分别在边，上，若
，则
的值为________；（直接写出结果）
【联系拓展】
（3）如图3，四边形中，
，
，
，
，点，分别在边，上，求
的值．
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形
中，，分别交，于点，，分别交，于点，，求证：；【结论应用】
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又
，点，分别在边，上，若，则的值为________；（直接写出结果）【联系拓展】
（3）如图3，四边形
中，，，，，点，分别在边，上，求的值．
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4 . 体验：如图
，在四边形中，
，
，点在边上，当
时，可知
______ 
不要求证明
．
探究：如图
，在四边形中，点在上，当
时，求证：∽
．
拓展：如图
，在
中，点是边的中点，点
、分别在边、
上，若
，
，
，求
的长．
，在四边形中，，，点在边上，当时，可知 ______ 不要求证明．探究：如图
，在四边形中，点在上，当时，求证：∽．拓展：如图
，在中，点是边的中点，点、分别在边、上，若，，，求的长．
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2023-11-24更新
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48次组卷
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7卷引用：四川省攀枝花市西区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题
5 . 在
，
，为边上一点，点、分别在、边上，且
．作
于点，
于点．
(1)特殊验证：如图1，若
，且为中点，求证：
，
；
(2)拓展探究：若
．
①如图2，若为中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；
②如图3，若
，条件中“点在边上”改为“点在线段
的延长线上”，其它条件不变，请探究
与
的数量关系并加以证明．
，，为边上一点，点、分别在、边上，且．作于点，于点．(1)特殊验证：如图1，若
，且为中点，求证：，；(2)拓展探究：若
．①如图2，若
为中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；②如图3，若
，条件中“点在边上”改为“点在线段的延长线上”，其它条件不变，请探究与的数量关系并加以证明．
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名校
6 . （1）发现：如图①所示，在正方形中，点
分别是
上的两点，连接
．求
的值；
（2）探究：如图②．在矩形中，为边上一点，且
．将
沿翻折到
处，延长交边于点，延长
交边于点，且
，求的长．
（3）拓展：如图③，在菱形中，
为边上的一点且
，
沿翻折得到
与交于且
，直线交直线于点
，求
的长．
中，点分别是上的两点，连接．求的值；（2）探究：如图②．在矩形
中，为边上一点，且．将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．（3）拓展：如图③，在菱形
中，为边上的一点且，沿翻折得到与交于且，直线交直线于点，求的长．
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2023-10-18更新
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190次组卷
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2卷引用：四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题
7 . 【问题呈现】
（1）如图1，将直角尺的直角顶点摆放在正方形的对角线交点
处，直角尺两直角边分别交正方形的边，于点，，求证：
．
【问题探究】
（2）若将（1）中的正方形更换为矩形，且
，如图2，判断
与
的等量关系（用含
的式子表示），并说明理由．
【问题再探究】
（3）将图2中的
的顶点沿
方向平移至点，若
，如图3，请直接写出
与
的等量关系（用含，
的式子表示，不需证明）．
【拓展运用】
（4）如图4，若
，点在边上，
，延长
交边于点，若
，求
的值．
（1）如图1，将直角尺的直角顶点摆放在正方形
的对角线交点处，直角尺两直角边分别交正方形的边，于点，，求证：．【问题探究】
（2）若将（1）中的正方形
更换为矩形，且，如图2，判断与的等量关系（用含的式子表示），并说明理由．【问题再探究】
（3）将图2中的
的顶点沿方向平移至点，若，如图3，请直接写出与的等量关系（用含，的式子表示，不需证明）．【拓展运用】
（4）如图4，若
，点在边上，，延长交边于点，若，求的值．
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8 . 如图，在矩形中，
，点E是边上一动点（点E不与A，D重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形
，使得矩形
矩形
交直线于点H．
【尝试初探】
(1)在点E的运动过程中，
与
始终保持相似关系，请说明理由；
【深入探究】
(2)随着E点位置的变化，H点的位置也随之发生变化，当B，C，G共线时，连接，求
的数量关系；
【拓展延伸】
(3)连接
，当的长度为时，求的最小值（用含n和的代数式表示）．
中，，点E是边上一动点（点E不与A，D重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形交直线于点H．【尝试初探】
(1)在点E的运动过程中，
与始终保持相似关系，请说明理由；【深入探究】
(2)随着E点位置的变化，H点的位置也随之发生变化，当B，C，G共线时，连接
，求的数量关系；【拓展延伸】
(3)连接
，当的长度为时，求的最小值（用含n和的代数式表示）．
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2023-03-13更新
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213次组卷
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2卷引用：四川省成都市简阳市2022-2023学年九年级下学期开学学业质量检测数学试题
9 . （1）证明推断：如图（1），在正方形中，点E，Q分别在边，上，
于点O，点G，F分别在边，上，
．推断：
的值为 ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，
（k常数）．将矩形沿
折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形
，
交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用在（2）的条件下，连接
，当
时，若
， 
，求的长．
中，点E，Q分别在边，上，于点O，点G，F分别在边，上，．推断：的值为 ；（2）类比探究：如图（2），在矩形
中，（k常数）．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用在（2）的条件下，连接
，当时，若， ，求的长．
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10 . 【问题提出】
（1）如图①，在正方形中，点E在
边上，连接，
，垂足为点 G，交于点 F．请判断
与的数量关系，并说明理由．
【类比探究】
（2）如图②，在矩形中， 
，点E在边上，连接， ，垂足为点C，交于点F．求 
的值．
【拓展应用】
（3）如图③，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点H，交于点M，交于点N，连接
，若 
，则的长为 ．
（1）如图①，在正方形
中，点E在边上，连接，，垂足为点 G，交于点 F．请判断与的数量关系，并说明理由．【类比探究】
（2）如图②，在矩形
中， ，点E在边上，连接， ，垂足为点C，交于点F．求 的值．【拓展应用】
（3）如图③，在（2）的条件下，平移线段
，使它经过的中点H，交于点M，交于点N，连接，若 ，则的长为 ．
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2024-04-22更新
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122次组卷
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5卷引用：2024年四川省内江市威远县凤翔中学中考二模考试数学试题
2024年四川省内江市威远县凤翔中学中考二模考试数学试题2024 年青海省西宁市初中学考九年级调研测试(一模)数学试题（已下线）重难点05 四边形压轴类型归纳（9大题型+满分技巧+限时分层检测）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（广东专用）2024年山东省聊城市高唐县九年级下中考第二次模拟数学试题2024年山东省聊城市阳谷县九年级中考二模数学试题
