1 . 问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．

      

问题探究：
(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．
问题拓展：
(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．

2 . 华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．

2．如图，在正方形ABCD中，．求证：． 证明：设CE与DF交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴．

某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
(1)【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．试猜想的值，并证明你的猜想．

(2)【知识迁移】如图，在矩形ABCD中，，，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．则______．

(3)【拓展应用】如图，在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、AD上，且．求的值．

3 . 某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：

(1)【初步探究】如图2，当时，则_____；
(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；
(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．

4 . 如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．

(1)【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．
(2)【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．
(3)【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．

5 . 问题提出：
如图①所示，在矩形和矩形中，，点A，O，D不在同一直线上，连接．是的中线，那么之间存在怎样的关系？

(1)问题探究：先将问题特殊化，如图②所示，当且时，的数量关系是________，位置关系是________．
(2)问题拓展：再探究一般情形如图③所示，当，时，证明（1）中的结论仍然成立．
(3)问题解决：回归图①所示，探究之间存在怎样的关系（数量关系用k表示）？

6 . 【问题呈现】某学校的数学社团成员在学习时遇到这样一个题目：
如图1，在中，，AD平分交BC于点D，点E在DC的延长线上，过E作交AC的延长线于点F，当时，试说明：；
【方法探究】
社团成员在研究探讨后，提出了下面的思路：
在图1中，延长线段AD，交线段EF的延长线于点M，可以用AAS证明，从而得到…，
（1）请接着完成剩下的说理过程：
【方法运用】
（2）在图1中，若，则线段AF、EF、AB之间的数量关系为______（用含k的式子表示，不需要证明）；
（3）如图2，若，，，，求出BD的长；
【拓展提升】
（4）如图3，若，连接AE，已知，，，且，则边EF的长＝______．

8 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两要互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为__________；

（2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，则的值为__________；

【类比探究】
（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：；

【拓展延伸】
（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点，分别在边，上，连接，，且．

①求的值；
②连接，若，直接写出的长度．