1 . 综合与实践
动手实践：数学研究的一个重要内容就是研究变化过程中的不变量．
数学课上张老师拿了两块相似比为1：2的三角板，按图1放置，使角的顶点C重合，点D、点E分别在边上，．将三角板绕点C逆时针旋转，记旋转角为α．

   

(1)当时，______．
(2)如图2，当时，______．
尝试探究：
(3)猜想：当时，的值是否有变化？请选择图3或图4其中一种情况加以证明．
拓展延伸：
(4)如图5，在中，，点D、点E分别是边的中点，连接．将绕点C逆时针旋转，当旋转至E、B、A三点在同一条直线上时，请你直接写出线段的长______．

2 . 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作探究：
(1)如图，矩形纸片中，，，将矩形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将矩形纸片展开，得到折痕，连接，折叠，点D的对应点为点，过作于点G，则的长度为______．

迁移探究：
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
操作一：如图①，将正方形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片展开，得到折痕；
操作二：如图②，将正方形纸片的右上角沿折叠，得到点D的对应点；
操作三：如图③，将正方形纸片的左上角沿折叠再展开，折痕与边交于点P．
问题解决：请在图③中解决下列问题：
(2)求证：
(3)求证：．
拓展探究：
(4)在图③的基础上，将正方形纸片ABCD的左下角沿折叠再展开，折痕与边交于点Q，如图④．试探究：______（直接写出结果，不需证明）．

6 . 综合与实践
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

   

探究发现
如图1，在中，，．

   

（1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：；
拓展应用：
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．

   

7 . （1）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决：勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形的中心，作，将它分成4份．所分成的四部分和以为边的正方形恰好能拼成以为边的正方形．若，求的值；
（3）拓展探究：如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形的边长为定值，小正方形的边长分别为．已知，当角变化时，探究与的关系式，并写出该关系式及解答过程（与的关系式用含的式子表示）．