1 . 【问题发现】
（1）如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段，之间的数量关系为      ；      ；
【类比探究】
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段，之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，在中，，，， 为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．

2 . 如图1，在中，，D是边的中点，以D为角的顶点作，射线经过点A，交边于点E．

(1)在图1中，请直接写出在，和中哪些与相似；
(2)将从图1中的位置开始，绕点D按逆时针方向旋转（旋转角不大于），如图2所示，射线分别交于点E，F．
观察判断       试判断与是否相似，并说明理由；
操作探究       若，，如图3所示，在边上有一点P，且，若点P始终在内（包括边界上），求的取值范围；
拓展应用       若，直接写出旋转角为多少度时，与相似．

3 . 问题提出（1）如图，在等腰直角中，，点D、E分别在边上，连接，有．求证：．
问题探究（2）如图，将矩形沿折叠，使点D落在边的点F处，若，__________；
变式拓展（3）如图，如果，将三角板的直角顶点E放在矩形纸片的边上移动，的长应为___________时，恰好存在两直角边所在的直线分别经过点A，D；
问题解决（4）如图，菱形是一座避暑山庄的平面示意图，其中米，现计划在山庄内修建一个三角形花园，点P、Q分别在线段上，根据设计要求要使，且，问能否建造出符合要求的三角形花园，若能，请直接写出的长，若不能，请说明理由．

5 . 如图（1），在矩形中，，点，分别在边，上（均不与端点重合)，且，以和为邻边作矩形，连接，．

（1）如图（2），当时，与的数量关系为______，与的数量关系为______．
【类比探究】
（2）如图（3），当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请写出线段的长并说明理由．

6 . 如图1，在中，，，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．

(1)问题发现
当时，______；当时，______．
(2)拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
(3)问题解决
绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长______．

7 . 已知：如图1，中，，，动点P从点C出发沿线段以的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段以的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t，以点Q为圆心，长为半径的圆Q与射线、线段分别交于点D、E．
尝试：当是等腰三角形时，求t的值；
探究：设，求与t的函数解析式，且写出t的取值范围；
拓展：如图2，连接，当t为何值时，线段与相切？
延伸：如图2，若与线段只有一个公共点，求t的取值范围．
   

8 . 在数学活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究与角的度数、线段长度有关的问题．对直角三角形纸片进行如下操作：

   

【初步探究】如图1，折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平，则与位置关系为_______，与的数量关系为_______；
【再次探究】如图2，将绕点C顺时针旋转得到，连接，若，求的值；
【拓展提升】在（2）的条件下，在顺时针旋转一周的过程中，当时，求的长．

9 . 问题背景：
如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：．（无需证明）

(1)探究：
如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．
(2)应用：
请利用（1）获得的经验解决问题：
如图3，在中，，，点以每秒1个单位长度的速度，由点出发，沿边向点运动，且满足，设点的运动时间为（秒），当以为圆心，以为半径的圆与相切时，求的值．
(3)拓展：
在（2）的条件下，当时，直接写出点在边上所走的总路程__________．

10 . 已知的半径为5，是长为8的弦，于点，点在的延长线上，且． 弦从图1的位置开始绕点逆时针旋转，在旋转过程中始终保持，如图2．

[发现] 在旋转过程中，
（1）的最小值是__________，最大值是__________．
（2）当时，旋转角__________．
[探究] 若绕点逆时针旋转，如图3，求的长．
[拓展] 如图4，当切于点交于点于．
（1）求的长．
（2）此时__________，__________．