1 . 【问题背景】在复习角平分线性质的时候，聪明的琪琪同学发现关于三角形角平分线的一个结论：如图①，已知是三角形的角平分线，可以得到．琪琪同学的证明思路是这样的：如图②，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形可以证明．
【尝试证明】请你参照琪琪同学的思路，利用图②证明该结论；
【知识迁移】利用以上结论进行计算：若在图①中，，，，则______；
【应用拓展】如图③，已知在中，，，，，求的长．（直接写出结果）

2 . 问题背景】如图1，中，，中，，且，求证：；
       
【变式迁移】如图（2），中，，，点D为内一点，将点A绕点D顺时针旋转得到，连接，求的值；
   
【拓展创新】如图（3），中，，，点D为外一点，，连接CD，求线段之间的数量关系．（用含的式子表示）
   

3 . 【方法尝试】如图1，矩形是矩形以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，分别是它们的对角线．求证：．
【类比迁移】如图2，在和中，，， ，，．将绕点在平面内逆时针旋转，设旋转角为，连接，．
①请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
②当点B，D，E在同一直线上时，求线段的长．
【拓展延伸】如图3，在中，，，过点作，在射线上取一点，连接，使得，请直接写出线段的最值．

5 . 数学课上，李老师出示了如下的题目．
在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图．试确定线段与的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论．
当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：____（填“”，“”或“”）．

(2)特例启发，解答题目．
解：题目中，与的大小关系是：________（填“”，“”或“”）．理由如下：
如图，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）

(3)拓展结论，设计新题．
在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为，，求的长（请你直接写出结果）．

6 . 【问题提出】
如图1，与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，且交于、两点（在、之间）．我们把点称为关于直线的“远点”，把的值称为关于直线的“远望数”．

（1）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点画垂直于轴的直线，则半径为1的关于直线的“远点”坐标是______，直线向下平移______个单位长度后与相切．
（2）在（1）的条件下求关于直线的“远望数”．
【拓展应用】
（3）如图3，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，点坐标为，以为圆心，为半径作．若与直线相离，是关于直线的“远点”．且关于直线的“远望数”是，求直线的函数表达式．

10 . 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
(1)温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC=6，AD=4，求正方形 PQMN的边长．
(2)操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′，M′在BC边上，N′在△ABC内，连结BN′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．
(3)推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．
(4)拓展：在(2)的条件下，于波利业线BN上截取NE=NM，连结EQ，EM(如图3)．当tan∠NBM=时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．