2 . （1）如图1，在中，，平分，交于点D，，交于点E．
①若，，求的长；
②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图2，和是的2个外角，，平分，交的延长线于点D，，交的延长线于点E．记的面积为，的面积为，的面积为．若，求的值．

3 . 定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在与中，，，且，所以称与为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为α，连接，则称为“关联比”．

下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：
(1)当与为“关联等腰三角形”，且时，
①在图2中，若点E落在上，则“关联比”             ；
②在图3中，探究与的关系，并求出“关联比”的值．
(2)如图4，当与为“关联等腰三角形”，且时，
①“关联比”             ．
②时，将绕点A顺时针旋转60°，线段扫过的面积是        ．
(3)[迁移运用]如图5，与为“关联等腰三角形”．若，，点P为边上一点，且，点E为上一动点，当点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长为             ．

6 . 含30°角的直角三角板中，．将其绕直角顶点C顺时针旋转角()，得到，边与边交于点D，过点 D作交边于点E，连接．

(1)如图1，当边经过点B时，求的度数；
(2)小明发现在三角板旋转的过程中，度数是定值，他在探究过程中需证明：．
①如图2是旋转过程的一个位置，试完成相似的证明
②然后直接写出三角板旋转的过程中度数的范围；
(3)设的面积为S，当 时，求的长，以点为圆心，为半径作，并判断此时直线与的位置关系．

7 . 综合与探究
如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
(2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)连接AC，过点P作直线 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

8 . ［问题提出］
（1）如图①，点是线段上的一点，．若，则的长为________．
［问题探究］
（2）如图②，在中，对角线与交于点，且，，四边形的周长是32，求线段的长；
［问题解决］
（3）①如图③是一个商场平面示意图，由一个和一个组成，已知，，，点、、在同一条直线上．因边所临的街道人流量较大，现要在边上找一点作为商场大门，为了美观，需使得．设的长为，的长为，求关于的函数关系式：
②当时，求的面积．

9 . 在矩形中，点P在上，，．直角尺的直角顶点放在点P处，直角尺的两边分别交、于点E、F，连接（如图1）．

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2）．
①求证：；
②求、的长；
（2）探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止，在这个过程中（图1是该过程的某个时刻），观察、猜想并解答：的值是否发生变化？请说明理由；

10 . 在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．
猜想：如图①，点D在BC边上，BD：BC＝2：3，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，则的值为　 　．
探究：如图②，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD：BC＝1：2，求的值．
应用：在探究的条件下，若CD＝2，AC＝6，则BP＝　 　．