2 . （1）【问题探究】
如图1，于点B，于点C，交于点D，求证：
（2）【知识迁移】
如图2，在矩形中，E是上的一点，作交于点F，，若，，求的值．
（3）【拓展应用】
如图3，菱形的边长为5，，E为上的一点，过D作E交于点F，交于点G，且，求的长．

4 . 综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：

(1)操作判断
如图1，在正方形中，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，若，则的长为      ；
如图2，在矩形中，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，若，则的长为      ；
(2)迁移探究
如图3，在中，，，点D，E分别在边，上，且，试证明:；
(3)拓展应用
如图4，在矩形中，，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G．当F为的三等分点时，请直接写出的长．

5 . 问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系．问题探究：

(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系；
(3)问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．

6 . [问题背景]为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：如图，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度可以自动打开窗子上的通风口换气通风口为（其余部分均不通风），为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．已知边框，设为，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为．
   
[初步探究]
（1）若，，与之间的距离为，通风口的面积为
①当时，直接写出y与x的函数关系是______；
②当时，求y与x的函数关系；
③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少?
[拓展提升]
（2）若伸缩杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．h需要满足的条件是______．通风口的最大面积是______（用含a，h的代数式表示）．

7 . 问题提出：如图1，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与β的数量关系．

问题探究：

（1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数；

（2）再探究一般情形，如图1，求与β的数量关系；

问题拓展：

将图1特殊化，如图3，当，，且时，求的值．

9 . 【模型发现】如图 1，，求证：．
【深入探究】如图2，等边中，，是上的动点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接，当点从运动到时，求点的运动路径长．
【应用拓展】如图3，等腰中，，于，是上的一点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，交于点，连接，若，则的值为_______．
   

10 . （1）【探究发现】如图①，已知四边形是正方形，点E为边上一点（不与端点重合），连接，作点D关于的对称点，的延长线与BC的延长线交于点F，连接．
   
①小明探究发现：当点E在上移动时，．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．
证明：延长交于点G．
②进一步探究发现，当点与点F重合时，　　　．
（2）【类比迁移】如图②，四边形为矩形，点E为边上一点，连接，作点D关于的对称点D，的延长线与的延长线交于点F，连接，，．当，，时，求的长；
   
（3）【拓展应用】如图③，已知四边形为菱形，，，点F为线段上一动点，将线段绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，请直接写出此时的长．