3 . 综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．

   

4 . 【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．

   

【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．

   

【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．

   

6 . 数学课上，老师出示了一道题目：如图1，在中，，点E在上，点D在的延长线上，且，试探究线段之间存在的数量关系，并说明理由．
(1)[猜想证明]线段的关系是．请补全下列证明思路；
如图1：过点E作交于点F，则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵．
∴．
∴　       　（ASA），
∴，
∴　       　．
∴　          ，
∴　          ，
∴．
(2)[变式拓展]
如图2，在中，，点E在的延长线上，点D在直线上，且．请你在图2中补齐图形．并探索（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出完整的证明；若不成立，请直接写出新的结论．
   

7 . 【课本再现】

   

(1)正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，如图1摆放时，易得重叠部分的面积与正方形的面积的比值是；在正方形绕点旋转的过程中（如图2），上述比值有没有变化？请说明理由．
(2)【拓展延伸】如图3，在正方形中，的顶点在对角线上，且，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与边和边交于点，．
①在的旋转过程中，试探究与的数量关系，并说明理由；
②若，当点与点重合时，求的长．

8 . 【问题探究】（1）如图（1）在正方形中，，点为上的点，，连接，点为上的点，过点作交于点，交于点，则的长度为        ．
【类比迁移】（2）如图（2）在矩形中，，，连接，过的中点作交于点，交于点，求的长度．
【拓展应用】（3）如图（3）李大爷家有一块平行四边形的菜地，测得米，米，，为了管理方便，李大爷沿着对角线开一条小路，过这小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路（小路面积忽略不计），求新开出的小路的长度．