1 . 已知点
为
和
的公共顶点，将绕点顺时针旋转
，连接
．和均为等边三角形，则线段
与线段
的数量关系是______；
(2)类比探究：如图2所示，若
，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：如图3所示，若
，
，
，
，当点
三点共线时，请直接写出的长．
为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接．
和均为等边三角形，则线段与线段的数量关系是______；(2)类比探究：如图2所示，若
，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用：如图3所示，若
，，，，当点三点共线时，请直接写出的长．
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2024-02-09更新
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66次组卷
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2卷引用：2024年安徽省亳州市谯城区中考二模数学试题
2023·山东济南·模拟预测
名校
2 . （问题提出）如图1，在等边内部有一点P，
，
，
，求
的度数．
（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
【尝试解决】将
绕点A逆时针旋转
，得到
，连接
，则
为等边三角形．
，又
，，
，
为 三角形，
的度数为 ．
【类比探究】如图2，在中，
，，其内部有一点P，若
，
，
，求的度数．
【联想拓展】如图3，在中，，
，其内部有一点P，若，
，
，求的度数．
内部有一点P，，，，求的度数．（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
【尝试解决】将
绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．，又，，，为 三角形，的度数为 ．【类比探究】如图2，在
中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．【联想拓展】如图3，在
中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．
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2023-09-27更新
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359次组卷
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3卷引用：重难点02相似三角形四种模型（模型解读+典例剖析+培优争分练）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（安徽专用）
（已下线）重难点02相似三角形四种模型（模型解读+典例剖析+培优争分练）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（安徽专用）2023年山东省济南市市中区实验初级中学中考考前四模（6月）数学试题2023年山东省济南实验初级中学中考数学四模模拟预测题
2023·广西·三模
3 . 在数学活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究与角的度数、线段长度有关的问题．对直角三角形纸片
进行如下操作：
，使点C与点A重合，得到折痕
，然后展开铺平，则
与位置关系为_______，与的数量关系为_______；
【再次探究】如图2，将绕点C顺时针旋转得到
，连接
，若
，求
的值；
【拓展提升】在（2）的条件下，在顺时针旋转一周的过程中，当
时，求
的长．
进行如下操作：
，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平，则与位置关系为_______，与的数量关系为_______；【再次探究】如图2，将
绕点C顺时针旋转得到，连接，若，求的值；【拓展提升】在（2）的条件下，在顺时针旋转一周的过程中，当
时，求的长．
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2023-05-29更新
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260次组卷
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5卷引用：重难点02相似三角形四种模型（模型解读+典例剖析+培优争分练）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（安徽专用）
（已下线）重难点02相似三角形四种模型（模型解读+典例剖析+培优争分练）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（安徽专用）2023年广西壮族自治区中考三模数学试题2023年广西壮族自治区贵港市桂平市中考三模数学试题河北省保定师范附属学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题2023年广西壮族自治区崇左市三模数学模拟试题
21-22九年级上·河南新乡·期中
名校
4 . 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图①，已知和
均为等腰直角三角形，点
分别在线段
上，且
．
小华将绕点
逆时针旋转，连接
，设的延长线交
于点
，如图②，当点
与点重合时；
①
的值为______；
②
的度数为______度．
(2)类比探究
如图③，小芳在小华的基础上继续旋转，连接，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)拓展延伸
若
，当所在的直线垂直于
时，直接写出的长．
和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．
小华将
绕点逆时针旋转，连接，设的延长线交于点，如图②，当点与点重合时；①
的值为______；②
的度数为______度．(2)类比探究
如图③，小芳在小华的基础上继续旋转
，连接，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由；(3)拓展延伸
若
，当所在的直线垂直于时，直接写出的长．
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2024-03-20更新
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78次组卷
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4卷引用：重难点02相似三角形四种模型（模型解读+典例剖析+培优争分练）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（安徽专用）
（已下线）重难点02相似三角形四种模型（模型解读+典例剖析+培优争分练）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（安徽专用）河南省新乡市辉县市市城关初级中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题2022-2023学年 吉林省长春市第二实验学校九年级下学期 第一次模拟考试数学试题江苏省宿迁市沭阳2023-2024学年九年级下学期第一次调研测试数学试题
名校
5 . 解答
(1)问题发现：如图1，在
和
中，
，
，点
是线段上一动点，连接
．填空：
①
的值为______ ；
②
的度数为______ ．
(2)类比探究：如图2，在和中，，
，点是线段上一动点，连接．请判断的值及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点
，连接
、
，若
，则当
是直角三角形时，线段的长是多少？请直接写出答案．
(1)问题发现：如图1，在
和中，，，点是线段上一动点，连接．填空：①
的值为②
的度数为(2)类比探究：如图2，在
和中，，，点是线段上一动点，连接．请判断的值及的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点
改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点，连接、，若，则当是直角三角形时，线段的长是多少？请直接写出答案．
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2023-05-09更新
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178次组卷
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20卷引用：安徽省亳州市2022--2023学年九年级上学期期末数学试卷
安徽省亳州市2022--2023学年九年级上学期期末数学试卷吉林省市命题七十七2019-2020学年九年级上学期期中数学试题2020年河南省中考模拟数学试题（一）（已下线）专题冲刺小卷12 几何综合问题-2020年《三步冲刺中考·数学》之最新模考分类冲刺小卷(河南专用)2020年山东省东营市东营区中考数学6月模拟试题2020年山东省东营市东营区九年级6月学业模拟考试数学试题2020年山东省广饶县初中学业水平模拟考试数学试题河南省周口市太康县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题2021年河南郑州外国语中学原创押题卷（B卷) 数学试题（已下线）【万唯原创】2021年河南试题研究-练习册-第四章 三角形5河南省郑州市外国语中学2019-2020学年九年级上学期第二次月考数学试题2022年山东省菏泽市牡丹区中考二模数学试题河南省新乡市卫辉市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题福建省三明市永安市2022~2023学年九年级上学期期中考试卷河南省郑州市金水区经纬中学2021-2022学年九年级下学期开学数学试卷（一模） 山东省东营市东营区文华学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（已下线）2023年河南省洛阳市偃师市中考数学一模试题变式题21-23题2023年山东省东营市垦利区中考二模数学试题江西省抚州市八校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题江苏省宿迁市沭阳县怀文中学、人民路中学2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题
6 . 问题提出：如图1，E是菱形
边
上一点，
是等腰三角形，
，
，
交
于点G，探究
与β的数量关系．
问题探究：
（1）先将问题特殊化，如图2，当
时，求的度数；
（2）再探究一般情形，如图1，求与β的数量关系；
问题拓展：
将图1特殊化，如图3，当
，
，且
时，求
的值．
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2024-01-20更新
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187次组卷
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2卷引用：2024年安徽省中考一模数学试题 (A)
7 . 【问题呈现】
如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：
．
【类比探究】
如图2，和都是等腰直角三角形，
，连接，．则
_________．
【拓展提升】
如图3，和都是直角三角形，，且
，连接，．
（1）求的值．
（2）延长交于点，交于点
，求
的值．
如图1，
和都是等边三角形，连接，．求证：．【类比探究】
如图2，
和都是等腰直角三角形，，连接，．则_________．【拓展提升】
如图3，
和都是直角三角形，，且，连接，．（1）求
的值．（2）延长
交于点，交于点，求的值．
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8 . 通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形
中，
，则
”．
某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：
(1)【问题探究】如图2，在正方形中，点
分别在线段
上，且
，试猜想
_________；
(2)【知识迁移】如图3，在矩形中，
，点分别在线段上，且，试猜想
的值，并证明你的猜想；
(3)【拓展应用】如图4，在四边形中，
，点
分别在线段
上，且
，求
的值．
中，，则”．某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：
(1)【问题探究】如图2，在正方形
中，点分别在线段上，且，试猜想_________；(2)【知识迁移】如图3，在矩形
中，，点分别在线段上，且，试猜想的值，并证明你的猜想；(3)【拓展应用】如图4，在四边形
中，，点分别在线段上，且，求的值．
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2024-04-02更新
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119次组卷
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9卷引用：2023年安徽省合肥市南岗中学中考一模数学试卷
2023·宁夏银川·二模
9 . 综合与实践
动手实践：数学研究的一个重要内容就是研究变化过程中的不变量．
数学课上张老师拿了两块相似比为1：2的三角板，按图1放置，使角的顶点C重合，点D、点E分别在
边上，
．将三角板
绕点C逆时针旋转，记旋转角为α．
时，
______．
(2)如图2，当
时，______．
尝试探究：
(3)猜想：当
时，
的值是否有变化？请选择图3或图4其中一种情况加以证明．
拓展延伸：
(4)如图5，在中，
，点D、点E分别是边
的中点，连接．将绕点C逆时针旋转，当旋转至E、B、A三点在同一条直线上时，请你直接写出线段的长
______．
动手实践：数学研究的一个重要内容就是研究变化过程中的不变量．
数学课上张老师拿了两块相似比为1：2的三角板，按图1放置，使
角的顶点C重合，点D、点E分别在边上，．将三角板绕点C逆时针旋转，记旋转角为α．
时，______．(2)如图2，当
时，______．尝试探究：
(3)猜想：当
时，的值是否有变化？请选择图3或图4其中一种情况加以证明．拓展延伸：
(4)如图5，在
中，，点D、点E分别是边的中点，连接．将绕点C逆时针旋转，当旋转至E、B、A三点在同一条直线上时，请你直接写出线段的长______．
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10 . 
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出
的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且
＝
＝
．连接BD，CE．①求
的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
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2022-07-09更新
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3210次组卷
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31卷引用：安徽淮南市西部地区2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题
安徽淮南市西部地区2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题2022年山东省烟台市中考数学真题（已下线）专题13 相似三角形-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第2期）山东省潍坊市青州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题四川省达州市通川区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（已下线）第五节 相似三角形03综合测云南省昆明市五华区云南大学附属中学呈贡校区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题湖北省武汉市蔡甸区求新联盟2022-2023学年九年级3月月考数学试卷2023年湖南省岳阳市中考三模数学试题（已下线）专题12 三角形综合问题-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（全国通用）山东省东营市东营区育才学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（已下线）专题18图形的相似（精选33道）-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【山东专用】（已下线）专题32图形的相似（优选真题60道）-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】湖北省襄阳市谷城县谷伯中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题江西省抚州市实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题陕西省西安市西光中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（已下线）湖北省襄阳华侨城实验学校2023-2024学年九年级8班上学期数学周练15（已下线）清单18 相似三角形的10大经典模型-2023-2024学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）湖南省新市教育集团2023-2024学年九年级上学期月考数学试题陕西省西安市西咸新区沣东新城第一初级中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题河南省周口市第十九初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（已下线）专题6 类比思想辽宁省盘锦市双台子区实验中学2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题2023年山东省潍坊市初中学业水平考试数学一模预测题二2023年山东省济宁市兖州区中考二模数学模拟试题江苏省连云港市新海实验中学2023-2024学年九年级下学期数学第一次月考题2023年江苏省苏州中考数学考前模拟预测题（一）山东省泰安市2024年初中学业水平数学模拟试题2024学年内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校九年级下学期第一次综合评价数学模拟试题（已下线）专题13几何类比探究题型（4大模型+解题技巧）-2024年中考数学答题技巧与模板构建（全国通用）2024年江苏省连云港市灌云县中考数学二模试题
