1 . 数学模型学习与应用．【学习】如图1，，，于点C，于点E．由，得∠1=∠D；又，可以通过推理得到≌．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型；

(1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且．若，，，用含x的式子表示CD的长；
(2)【拓展】在中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，，，．若为直角三角形，求CD的长；
(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B为平面内任一点．是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标．

2 . 如图，在的边长为1的小正方形网格中，的三个顶点都在格点上．
   
(1)直接写出的形状______；
(2)若垂足为D，证明：；
(3)拓展应用：在A时测得某树（垂直于地面）的影长为4米，C时又测得该树的影长为16米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______米．（直接写出结果）

3 . [基础巩固]

(1)如图①，在中，，于点，求证：．
[尝试应用]
(2)如图②，在矩形中，，点在上，，于点，求的长．
[拓展提高]
(3)如图③，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，为中点，连接交于点，，若，求的长．

4 . 【初步尝试】
（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为         ；

【思考说理】
（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值．

【拓展延伸】
（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．
①求线段的长；
②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．

5 . （1）[问题发现]
如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一条边作正方形CDEP，点E恰好与点A重合．则线段BE与AF的数量关系为 　 　；
（2）[拓展研究]
在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请就图2的情形给出证明；
（3）[问题发现]
当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．

7 . 【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC²＝AD•AB．

【尝试应用】
（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．

【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．

8 . 【问题引入】
如图（1），在中，，，过作则交延长线于点，则易得
【直接应用】
如图,已知等边的边长为,点, 分别在边, 上, , 为中点，为当上一动点，当在何处时，与相似，求的值.
【拓展应用】
已知在平行四边形中，，，，,，求长.

9 . 如图（1），在矩形中，点在边上，点在边的延长线上，连结与边相交于点，连结与对角线相交于点，，.
（1）①求证：；②若，求的值；
（2）联系拓展：如图（2），在四边形中，，，，，点分别在边上，求的值.
            

10 . 如图①所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N.
【问题引入】
(1)若点O是AC的中点，，求的值；
温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.
【探索研究】
(2)若点O是AC上任意一点(不与A，C重合)，求证：；
【拓展应用】
(3)如图②所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F.若，，求的值．