1 . 如图1，正方形和正方形，连接．

(1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由；
(2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由；
(3)[应用]：在(2)情况下，连接点在上方，若，且，，求的长．

2 . 如图，正方形的边长为1，点是边上的动点，从点沿向运动，以为边，在的上方作正方形，连接．请探究：

   

(1)线段与是否相等？请说明理由．
(2)若设，，当取何值时，最大？
(3)连接，当点运动到的何位置时，？

3 . 阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
   
(1)特例感知：如图一，已知边长为3的等边的重心为点O，求与的面积；
(2)性质探究：如图二，已知的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由；
(3)性质应用：如图三，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．
若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；若，求正方形ABCD的面积

7 . 在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，在三角形纸片中剪下以C点为一个顶点，另3个顶点分别在，，上的一个正方形，量得，，则：

(1)正方形的边长为______ ；
(2)和的面积之和为______ .

8 . 四边形是一张矩形纸片，点E在上，将沿BE折叠，使点A落在矩形的对角线上，连接，请探究下列问题：

(1)如图1，当F恰好为的中点时，求的度数．
(2)如图2，当点C、E、F在同一条直线上时，求证：．
(3)在（2）的条件下，若，求的长．

10 . 如图，在矩形中，，，是边上一点，与关于直线对称，连接并延长交于点，请完成下列探究：
（1）设，则______用含的代数式表示；
（2）若点为中点，则的长为______．