1 . 如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．
问题引入：
（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S_△ABD：S_△ABC=　 　；当点D是BC边上任意一点时，S_△ABD：S_△ABC=　 　（用图中已有线段表示）．
探索研究：
（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO、CO，试猜想S_△BOC与S_△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．
拓展应用：
（3）如图③，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，试猜想的值，并说明理由．

2 . 如图（1），E是菱形边上一点，是等腰三角形，AE=EF，，交于点G，探究与α的数量关系．

(1)如图（2），当时，在上截取，连接，构造全等三角形，可求出的大小，那么______；
(2)如图（1），求与α的数量关系．
(3)如图（3），当时，过A作垂足为P，若，求的值．

3 . 如图，为探究一类矩形的性质，小明在边上取一点，连接，经探究发现：当平分时，将沿折叠至，点恰好落在上，据此解决下列问题：

(1)求证：；
(2)如图，延长交于点，交于点．求证：．

5 . 如图1，矩形ABCD中，．
【数学活动】
将矩形纸片进行以下操作：
第一步：将矩形纸片沿直线对折，使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕，再将矩形纸片沿对角线对折，得到折痕AC，再次展开铺平，两折痕与交于点G；
第二步：将绕点逆时针旋转得到，点F，的对应点分别为点H，K，直线与边所在直线交于点（点不与点重合），与边所在直线交于点．

【数学思考】
（1）绕点旋转至图1的位置时，试判断与的数是关系，并证明你的结论．
【数学探究】
（2）①如图2，当直线时，求的长；
②在旋转过程中，当点K，H，C三点共线时，求的长；
【问题延伸】
（3）在绕点旋转的过程中，连接，则的取值范围是______．

6 . 如图1，点在正方形的对角线上，，垂足为，垂足为．

(1)求证：四边形是正方形．
(2)如图2，将正方形绕点顺时针方向旋转，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，正方形在旋转过程中，当三点在同一条直线上时，延长交于点，若，求的长．

7 . 在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片   内剪取一个直角，点 ，， 分别在，， 边上．请完成如下探究：
（1）当 为的中点时，若，     __________________
（2）当，、时 ， 的长为 ___________

   

8 . 综合与探究
如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，M是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)P为线段上的一个动点，过点P作轴于点D，D点坐标为，的面积为S．
①求的面积S的最大值．
②在上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

9 . 如图1，在矩形纸片中，，，点是中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点与点重合，如图，折痕为，连接、；第二次折叠纸片使点与点重合，如图，点落到处，折痕为，连接．完成下面的探究：

（1）线段的长是______；
（2）______．