1 . 【定义呈现】有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形，其中，这两个内角称为倍角．例如：如图1，在四边形中，，，那么我们就叫这个四边形是倍对角四边形，其中，称为倍角．
【定义理解】如图1，四边形是倍对角四边形，且，是倍角．求的度数；
【拓展提升】如图2，四边形是倍对角四边形，且，是倍角，延长、交于点A．在下方作等边三角形，延长、交于点G．若，，，四边形的周长记为．

（1）用的代数式表示；
（2）如图3，把题中的“”条件舍去，其它条件不变．
①求证：；
②探究是否为定值．如果是定值，求这个定值，如果不是，请说明理由．

3 . 问题背景：如图1，在四边形中，，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上．

(1)操作探究
连接，判断的形状，说明理由；
(2)探究迁移
将沿射线平移得到（点的对应点分别为），当点的对应点与点重合时，求四边形的周长；
(3)拓展创新
将继续沿射线平移得到（点的对应点分别为），与交于点，且，将绕点在平面内自由旋转，当时，直接写出的长．

4 . 【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角．
【概念理解】（1）当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数．       
【性质探究】（2）如图1，是和美三角形，是钝角，是和美角，
求证：．
【拓展应用】（3）如图2，是的直径，且，点C，D是圆上的两点，弦与交于点E，连接，，是和美三角形．
①当时，求的长．
②当是和美三角形时，直接写出的值．

7 . 问题背景：小李在探究几何图形的时候，发现了一组非常神奇的性质：如图1，等边三角形中，连接可以得到，好学的他发问取的中点，得到的是特殊三角形吗？请说明理由；
迁移应用：如图2，在正方形中，点O为的中点，构造正方形绕O点进行旋转，，连接，求的值；
联系拓展：如图3，等腰，中， ，当绕B点旋转的过程中取的中点M，N，连接，若，且时，直接写出的长度．

   

8 . 【例题探究】数学课上，老师给出一道例题，如图，点在的延长线上，且，若求证：；请用你所学的知识进行证明．
【拓展训练】
如图，点在的延长线上，且，若，，，则的值为______；（直接写出）
【知识迁移】
将此模型迁移到平行四边形中，如图，在平行四边形中，为边上的一点，为边上的一点若求证：．