1 . 如图，在中，，是中线，，一个以点D为顶点的角绕点D旋转，使角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点E，F，与交于点M，与交于点N．
   
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，在绕点D旋转的过程中：
①探究三条线段，，之间的数量关系，并说明理由；
②若，，求的长．

2 . 定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．
如图，已知△ABC中，AB=BC，∠C=36°，BA₁平分∠ABC交AC于A₁．

（1）=AA₁•A C；
（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）
（3）应用：已知AC=a，作A₁B₁∥AB交BC于B₁，B₁A₂平分∠A₁B₁C交AC于A₂，作A₂B₂∥AB交B₂，B₂A₃平分∠A₂B₂C交AC于A₃，作A₃B₃∥AB交BC于B₃，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A_n﹣1A_n．（n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）

3 . 如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B₁C₁⊥AC于C₁交AB的延长线于B₁．
（1）请你探究：，是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图2所示Rt△ABC中，∠ACB=90︒，AC=8，AB=，E为AB上一点且AE=5，CE交其内角角平分线AD于F．试求的值．

4 . 如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁，S₂，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．

5 . 在Rt△ACB和△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE.
特殊发现：
如图1，若点E、F分别落在边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）．
问题探究：
把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．
(1)如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(2)如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)记＝k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）

6 . 操作：小英准备制作一个表面积为的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：

   

说明：
方案一：图形中的圆过点A、B、C；
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点．
纸片利用率
发现：（1）小英发现方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小英的这个发现是否正确，请说明理由．
（2）小英通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．（结果精确到）
探究：（3）小英感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．（结果精确到）
说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点．

7 . 操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：

说明：方案一：图形中的圆过点A、B、C；
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点.
纸片利用率=×100%
发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．
你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．
请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．
探究：
（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．

8 . 某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动．
活动情境：

如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．
所得结论：
当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：
甲：△AEF的边AE=______cm，EF=______cm；
乙：△FDM的周长为16cm；
丙：EG=BF.
你的任务：
（1）填充甲同学所得结果中的数据；
（2）写出在乙同学所得结果的求解过程；
（3）当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：
①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；
②丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？

9 . 已知△ABC是等腰直角三角形，∠A = 90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．
（1）若BD是AC的中线，求的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分线，求的值；
（3）结合（1）、（2），试推断的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由.

10 . 如图1，已知有一张三角形纸片的一边，若D为边上的点，过点D作交于点E，分别过点D、E作，，垂足分别为点F、点G，把三角形纸片分别沿、、按图1方式折叠，点A、B、C分别落在、、处．若、、在矩形内或者其边上，且互不重合，此时我们称（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．
   
（1）实验操作：当时，
①若，，请在图2中画出“重叠三角形”，=          ；
②若，，如图3，=          ；
③若，，如图4，=          ；
（2）实验探究：若为等边三角形（如图5），设的长为m，若重叠三角形存在，试用含m的代数式表示重叠三角形的面积，并写出m的取值范围．