1 . 【定义呈现】有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形，其中，这两个内角称为倍角．例如：如图1，在四边形
中，
，
，那么我们就叫这个四边形是倍对角四边形，其中
，
称为倍角．
【定义理解】如图1，四边形是倍对角四边形，且，是倍角．求
的度数；
【拓展提升】如图2，四边形
是倍对角四边形，且
，
是倍角，延长
、
交于点A．在
下方作等边三角形
，延长
、
交于点G．若
，
，
，四边形的周长记为
．
的代数式表示；
（2）如图3，把题中的“”条件舍去，其它条件不变．
①求证：
；
②探究
是否为定值．如果是定值，求这个定值，如果不是，请说明理由．
中，，，那么我们就叫这个四边形是倍对角四边形，其中，称为倍角．【定义理解】如图1，四边形
是倍对角四边形，且，是倍角．求的度数；【拓展提升】如图2，四边形
是倍对角四边形，且，是倍角，延长、交于点A．在下方作等边三角形，延长、交于点G．若，，，四边形的周长记为．
的代数式表示；（2）如图3，把题中的“
”条件舍去，其它条件不变．①求证：
；②探究
是否为定值．如果是定值，求这个定值，如果不是，请说明理由．
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2 . 给出如下定义：有一组对角互余的凸四边形叫对余四边形．
证明：
(1)如图
，
是
的直径，点
、
、
在上，
，
相交于点
．求证：四边形
是对余四边形；
探究：
(2)如图
，在对余四边形中，
＝
，
、
为对角线，
，试探究线
、和
之间的数量关系，并说明理由．
拓展：
(3)已知，在
中，
，为外一点，且四边形为对余四边形，请直接写出对角线的最大值．
证明：
(1)如图
，是的直径，点、、在上，，相交于点．求证：四边形是对余四边形；探究：
(2)如图
，在对余四边形中，＝，、为对角线，，试探究线、和之间的数量关系，并说明理由．拓展：
(3)已知，在
中，，为外一点，且四边形为对余四边形，请直接写出对角线的最大值．
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3 . 综合与实践
问题情境：如图，在矩形中，
，
，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形
．使得点
落在
的延长线上，
分别交
，
于点
和点
．
初步探究：（）
的形状是______．
深入探究：（）如图，延长
交于点
，延长
交于点
，请判断
与
的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：（
）如图，将矩形沿射线方向平移得到矩形
，当点
落在上时，延长
交
于点
，请直接写出四边形
的面积．
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名校
4 . 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图①，已知
和
均为等腰直角三角形，点
分别在线段
上，且
．
小华将绕点逆时针旋转，连接
，设的延长线交于点，如图②，当点与点重合时；
①
的值为______；
②
的度数为______度．
(2)类比探究
如图③，小芳在小华的基础上继续旋转，连接，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)拓展延伸
若
，当所在的直线垂直于时，直接写出的长．
和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．
小华将
绕点逆时针旋转，连接，设的延长线交于点，如图②，当点与点重合时；①
的值为______；②
的度数为______度．(2)类比探究
如图③，小芳在小华的基础上继续旋转
，连接，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由；(3)拓展延伸
若
，当所在的直线垂直于时，直接写出的长．
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2024-03-20更新
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78次组卷
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4卷引用：江苏省宿迁市沭阳2023-2024学年九年级下学期第一次调研测试数学试题
江苏省宿迁市沭阳2023-2024学年九年级下学期第一次调研测试数学试题河南省新乡市辉县市市城关初级中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题2022-2023学年 吉林省长春市第二实验学校九年级下学期 第一次模拟考试数学试题（已下线）重难点02相似三角形四种模型（模型解读+典例剖析+培优争分练）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（安徽专用）
23-24九年级上·广西柳州·阶段练习
5 . 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．
如图1，在四边形中，点
为
上一点，
，求证：
．
【思考探究】
（2）如图2，在四边形中，点为上一点，当
时，上述结论是否依然成立？说明理由．
【拓展延伸】
（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在中，
，
，以点为直角顶点作等腰
，点在上，点在上，点在上，且
，若
，求的长．
如图1，在四边形
中，点为上一点，，求证：．【思考探究】
（2）如图2，在四边形
中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．【拓展延伸】
（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在
中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长．
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6 . 【问题思考】
如图1，
中，
，
，
，E是上一点，
，
，垂足为D，求的长；
【类比探究】
如图2，中，
，，点D．E分别在线段、上，
，
．求的长；
【拓展应用】
如图3，是型如块三角形实地，其中点D、E分别在边、上，其中A、D之间是一池塘，测得
，，
．
，
．求A、D之间的距离．
如图1，
中，，，，E是上一点，，，垂足为D，求的长；【类比探究】
如图2，
中，，，点D．E分别在线段、上，，．求的长；【拓展应用】
如图3，是型如块三角形实地，其中点D、E分别在边
、上，其中A、D之间是一池塘，测得，，．，．求A、D之间的距离．
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名校
7 . 几何综合：已知：点是
边上一动点，作
，点、点
分别是边、上的点，且满足
，
，连接
；设
（常数
）．
(1)证明推断：若
．如图1，
①求证：
；
②推断：当
，
时，
；
(2)类比探究：若
．如图2，当时，试写出线段
、
、
与常数之间一个相等关系，并证明；
(3)拓展应用：若．如图3，设
，，当
，
时，求常数的值和线段
的长度．
是边上一动点，作，点、点分别是边、上的点，且满足，，连接；设（常数）．(1)证明推断：若
．如图1，①求证：
；②推断：当
，时， ；(2)类比探究：若
．如图2，当时，试写出线段、、与常数之间一个相等关系，并证明；(3)拓展应用：若
．如图3，设，，当，时，求常数的值和线段的长度．
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8 . 1.问题发现
图（1），在
和
中，
，
，
，连接，交于点M.
①
的值为______；②
的度数为_______．
（2）类比探究
图（2），在和中，
，
，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若
，
，将绕点O在平面内旋转一周．
①当直线
经过点B且点C在线段上时，求的长；
②请直接写出运动过程中M点到直线
距离的最大值．
图（1），在
和中，，，，连接，交于点M.①
的值为______；②的度数为_______．（2）类比探究
图（2），在
和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数；（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若
，，将绕点O在平面内旋转一周．①当直线
经过点B且点C在线段上时，求的长；②请直接写出运动过程中M点到直线
距离的最大值．
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2023-12-20更新
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614次组卷
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4卷引用：江苏省宿迁市沭阳县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
江苏省宿迁市沭阳县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题辽宁省沈阳市沈北新区东北育才双语学校2023-2024学年九年级上学期数学试题（三）湖北省武汉市二桥中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题（已下线）专题13几何类比探究题型（4大模型+解题技巧）-2024年中考数学答题技巧与模板构建（全国通用）
9 . （1）问题解决：如图1，点
在一条直线上，
，求证：
；
（2）问题探究：在（1）的条件下，若点为的中点，求证：
；
（3）拓展运用：如图2，在中，
，点
是的内心，若
，求的长．
在一条直线上，，求证：；（2）问题探究：在（1）的条件下，若点
为的中点，求证：；（3）拓展运用：如图2，在
中，，点是的内心，若，求的长．
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2023·河南洛阳·二模
名校
10 . 综合与实践沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为
，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与
重合，折痕为
，请写出图中的一个
角：______．
(2)【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿
继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接
交于点P．
①
______度；
②若
，求线段
的长．
(3)【迁移应用】如图3，在矩形，点E，F分别在边
上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为的三等分点，
，
，请直接写出线段
的长．
沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，请写出图中的一个角：______．(2)【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿
继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．①
______度；②若
，求线段的长．(3)【迁移应用】如图3，在矩形
，点E，F分别在边上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为的三等分点，，，请直接写出线段的长．
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2023-10-18更新
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385次组卷
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7卷引用：清单15 相似三角形的性质与判定（3个考点梳理+17种题型解读+提升训练）-2023-2024学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）
（已下线）清单15 相似三角形的性质与判定（3个考点梳理+17种题型解读+提升训练）-2023-2024学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）2023年河南省洛阳市洛宁县二模数学试题（已下线）2023年河南省二模（几何综合2）浙江省杭州市西湖区杭州外国语学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题2024年辽宁省初中学业水平数学模拟预测题（二）（已下线）专题11 四边形压轴题综合-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）2023年河南省郑州市中原区名校中考数学模拟预测题（一）
