1 . 综合与实践
【问题发现】
在学习了“特殊的四边形”后，数学兴趣小组的同学发现了这样一个问题：
如图1，已知正方形为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．
通过观察图形，数学兴趣小组的同学进行了如下猜想：
猜想①：；
猜想②：；
猜想③：点在上运动的过程中，四边形的面积不变．
根据上述猜想，兴趣小组的同学进行了证明，过程如下：
四边形是正方形，
，
，
，即．
．
．
又，
．
（依据：________）．
……
（1）上述证明过程中的依据是________，上述猜想中正确的有________（填序号）．
【类比探究】
（2）兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．
如图，已知矩形，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．
①请判断线段与的数量关系，并说明理由．
②点在上运动时，四边形的面积是否改变？________．（填“不变”或“改变”）
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若，点在上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长．

2 . 【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：；
【结论应用】
（2）如图②，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，若，求折痕的长；
【拓展运用】
（3）如图③，将矩形沿折叠．使得点D落在边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形，若，求的长．
         

3 . 综合与实践

   

(1)【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，请写出图中的一个角：______．
(2)【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．
①______度；
②若，求线段的长．
(3)【迁移应用】如图3，在矩形，点E，F分别在边上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为的三等分点，，，请直接写出线段的长．

4 . 【问题背景】
如图，正方形的边长为8，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，连接．
【初步探究】
（1）求证：；
（2）若点 P在边上运动，且，求与的相似比；
【拓展提升】
（3）当点P在射线上运动时，设，是否存在实数x，使得以点P、F、E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

   

5 . （1）发现：如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，求证：；
（2）探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．
（3）拓展：如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，．将沿翻折得到，直线交于点，求的长．
   

6 . 【概念呈现】
在钝角三角形中，若钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角；
【性质探究】
（）如图，是和美三角形，是钝角，是和美角，求证：；
【拓展应用】
（）中，，是边上一点，连接，是和美三角形；
如图，若，，求的长；
若是和美角，延长到点，连接，使，当是和美三角形时，直接写出的度数．

10 . 问题背景：已知的顶点在的边上（不与，重合）．交所在直线于点，交所在直线于点．记的面积为，的面积为．
   
（1）初步尝试：如图①，当是等边三角形，，，且，时，则        ；
类比探究：在（1）的条件下，先将点沿平移，使，再将绕点旋转至如图②所示位置，求的值；
（2）延伸拓展：当为等腰三角形时，设．
（Ⅰ）如图③，当点在线段上运动时，设，，则的表达式为          （结果用，和的三角函数表示）．
（Ⅱ）如图④，当点在的延长线上运动时，设，，求的表达式，写出解答过程．