2 . 小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．

   

(1)复习回顾：求的长．
(2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．
①当点G是的中点时，求证：；
②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．

3 . 【问题背景】小明遇到了这样一道试题：如图1，在中，，，，求的面积．
【问题发现】（1）爱动脑的小明用了如下特别思路解决这个问题：如图2，只要将绕点C顺时针旋转，得到．即可得到一个新的直角边长为10的等腰．易知的面积为等腰面积的一半，进而可轻松获得解答，根据小明的方法，可求出的面积为________；（直接写出答案）
   
小明反思认为：旋转变换的好处是可以重组原有图形中的一些关系．类比小明的做法，请完成下列探究：
【类比探究1】（2）如图3，在四边形中，，，于点M，若，试求四边形的面积．
【类比探究2】（3）如图4，正方形内存在一点E，，，，延长交于点F，试求四边形的面积；
   
【拓展应用】（4）如图5，在矩形ABCD内，，，点E、F分别在边AB、BC上，，，连接EF，则EF的长为________．（直接写出答案）
   

6 . 已知两个矩形，若其中一个矩形的四个顶点分别在另一个矩形的四条边上（顶点不重合），我们称这个矩形为另一个矩形的“衍生矩形”．
【模型探究】（1）如图1，矩形是矩形的“衍生矩形”，不连接其它线段，图中有哪几组全等三角形，请写出并任选一组证明；
【迁移应用】（2）如图2，在矩形中，，．点M在线段上，且，点N是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q落在矩形内．连接，，当面积为时，求的长；
【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，．点N是的中点，点M是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q始终落在矩形内（不含边界）．连接，点O是的中点，连接，求长的取值范围（用含a，b的式子表示）．

7 . 如图，已知是半圆的直径，点在半圆上，，点是上的动点，交于，连接．

(1)问题解决：如图1，若为中点，则________．
(2)问题探究：如图2，当时，若四边形的面积为54，求的长．
(3)拓展延伸：如图3，作交于点，当为等腰三角形时，求的长．

8 . 在平行四边形中，点E，F分别为线段和延长线上的点，连接与交于点G，连接，设．
【问题提出】（1）如图1，延长交于点P，求证：=；
【深入探究】（2）如图2，若，求的最小值；
【拓展提高】（3）如图3，若，当时，直接写出k的值．

9 . 在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质．
【操作探究】
(1)如图1，已知，，将绕着直角边中点G旋转，得到，当的顶点D恰好落在的斜边上时，斜边与 交于点H．

   

①猜想： _________
②证明：．
【问题解决】
(2)在（1）的条件下，已知，，求的长．
【拓展提升】
(3)如图2，在菱形中，，， 将菱形绕着中点M顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点E分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点 N， 请直接写出的长．