1 . （1）【问题探究】
如图1，于点B，于点C，交于点D，求证：
（2）【知识迁移】
如图2，在矩形中，E是上的一点，作交于点F，，若，，求的值．
（3）【拓展应用】
如图3，菱形的边长为5，，E为上的一点，过D作E交于点F，交于点G，且，求的长．

2 . 【问题提出】在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交于点，连接，试探究点D到线段的距离．

【问题探究】
（1）先将问题特殊化，如图2，当点E和A重合时，直接写出D到线段的距离（用含的式子表示）；
（2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中的结论仍然成立；
【问题拓展】如图3，在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交直线于点，连接．若，直接写出的值（用含的式子表示）．

3 . 【操作与发现】
如图①，在正方形中，点N，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，从而可得：．

(1)【实践探究】在图①条件下，若，，则正方形的边长是___________．
(2)如图②，在正方形中，点M、N分别在边、上，，若，求证：M是的中点．
(3)【拓展】如图③，在矩形，，，点M、N分别在边、上，连接、，，则的长是 ___________．

4 . 在矩形中，（k为常数），点P是对角线上一动点（不与B，D重合），，将射线绕点P逆时针旋转90°与射线交于点E，连接．

   

(1)特例发现：如图1，当时，将点P移动到对角线交点处，则______， ______；当点P移动到其它位置时，的大小______（填“改变”或“不变”）；
(2)类比探究：如图2，若时，当k的值确定时，请探究的大小是否会随着点的移动而发生变化，并说明理由；
(3)拓展应用：当时，如图2，连接，求的长．

7 . 在中，，．

【问题提出】
（1）如图1，点D为边上一点，过D作于E点，连接，F为的中点，连接，，，则的形状是      ；
【问题探究】
（2）如图2，将图1中的绕点B按逆时针方向旋转，使点D落在边上，F为AD的中点，试判断的形状并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，若，，将绕点B按逆时针方向旋转，当点D在线段上时，直接写出线段的长      （用含m的式子表示）．

8 . 综合与实践．
【问题发现】（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：．

【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值．
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长．

9 . 综合与实践：

【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，是边上一点，于点，，，，求证：四边形为正方形；
【实践探究】（2）小宇受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，是边上一点，于点，于点，交于点，请探究线段，，之间的数量关系并说明理由；
【拓展迁移】（3）小阳深入研究小宇提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，是边上一点，于点，点在上，且，连接，，请探究线段与的数量关系并说明理由．