1 . 【试题再现】如图1，中，，，直线过点，过点、分别作于点，于点，则（不用证明）．
   
(1)【类比探究】如图2，在中，，且，上述结论是否成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论．
(2)【拓展延伸】①如图3，在中，，且，猜想线段、、之间有什么数量关系？并证明你的猜想．
②若图1的中，，，并将直线绕点旋转一定角度后与斜边相交，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点和点，请在备用图上画出图形，并直接写出线段、、之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）．

4 . 综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

   

(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；
(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______；
(4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______．

5 . 问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．

      

问题探究：
(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．
问题拓展：
(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．

6 . 问题背景：
如图1，在中，，，是边上的中线，E是上一点，将绕点C逆时针旋转得到，的延长线交边于点P．问题探究：

(1)探究，之和与之间的数量关系．
①先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出，之和与之间的数量关系；
②再探究一般情形，如图1，当不垂直时，证明①中的结论仍然成立；
(2)拓展探究：如图3，若的延长线交的延长线于点P时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系．

7 . 综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．

   

9 . 【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．

   

(1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；
(2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
(3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．

10 . 【问题背景】（1）如图1，中，，求证：．
   
【问题探究】（2）如图2，中，，平分，于点，过点作的平行线交于点，作于点，猜想与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；
【问题拓展】（3）在（2）上述条件下，当时，直接写出的正切值．