2 . 【问题背景】（1）如图1，中，，求证：．
   
【问题探究】（2）如图2，中，，平分，于点，过点作的平行线交于点，作于点，猜想与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；
【问题拓展】（3）在（2）上述条件下，当时，直接写出的正切值．

3 . 【问题情境】和是共顶点的两个三角形，点P是边上一个动点（不与B重合），且，，连接．
   
(1)【特例分析】如图①，当，时．猜想与之间的数量关系，并说明理由；并求出的度数．
(2)【拓展探究】如图②，当，时．请判断与的数量关系以及与之间的数量关系，并说明理由．

(3)【学以致用】如图③，当，，，时，求的长．

4 . 【问题提出】如图1，在中，，点，分别为边，的中点，将绕点顺时针旋转，连接，，试探究，之间存在怎样的数量关系和位置关系？

   

【特例探究】若，将绕点C顺时针旋转至图2的位置，直线与，分别交于点，．按以下思路完成填空（第一个空填推理依据，第二个空填数量关系，第三个空填位置关系）：
∵，点，分别为边，的中点
∴
∵
∴
∴（__________）
∴__________，
又∵
∴
∴__________．
【猜想证明】若，绕点顺时针旋转至图3的位置，直线与，分别交于点，，猜想与之间的数量关系与位置关系，并就图3所示的情况加以证明；
【拓展运用】若，，将绕点顺时针旋转，直线与相交于点，当以点，，，为顶点的四边形是矩形时，请直接写出的长．

5 . （1）操作发现：在综合实践课上，同学们进行正方形图形变换探究活动，如图1，四边形和四边形都是正方形，点E在上运动，在上截取，使，连接．

①发现：，请证明；
②推断：线段与的关系是______；
（2）探究拓展：如图2，四边形和四边形都是矩形，点E在上运动，，在上截取，使，连接．判断线段与的关系并证明；
（3）学以致用：在（2）的条件下，连接交于点M，连接并延长交于点P（如图3）．当时，若，，求的长．

9 . （1）问题发现
如图1，在中，，D是线段上一动点，以为一条边在A的左侧作，使，连接．则与的数量关系为_________．
（2）类比探究
如图2，在中，D是线段上一动点，以为一条边在的左侧作，使且，连接．则（1）中与的数量关系仍然成立吗？请说明理由．
（3）拓展应用
如图3，在（2）的条件下，若，，当取最小值时，的面积为_________．