1 . 在和中，，，点D在线段上．

(1)【特例证明】如图（1），当时，，证明：；
(2)【类比探究】如图（2），当，点D是线段上任一点时，证明：
①；
②；
(3)【拓展运用】如图（3），当时，，，求长．

3 . 矩形中，，是边上一点，以为边在矩形在内部构造矩形．
   
(1)特例发现
如图，当时，        ；
(2)类比探究
如图，如图，将矩形绕点顺时针旋转度，连接，当时，求的值；
(3)拓展运用
如图，矩形在旋转的过程中，落在边上时，若、、三点共线，时，当时，则的长为        ．

5 . 问题提出：如图（1），在中，，D是内一点，，若，连接，求的长．

(1)问题探究：请你在图（1）中，用尺规作图，在左侧作，使．（用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，不说明理由）
(2)根据（1）中作图，你可以得到与的位置关系是_______；你求得的长为_______；
(3)问题拓展：如图（2），在中，，D是内一点，若，求的长．

6 . 如图，已知，M为边上一动点，，D为边上一动点，，交于点N．

(1)【问题提出】三角形的三条中线会相交于一点，这一点就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性质，请大家探究以下问题
若，则______（直接写出结果）
(2)【问题探究】若，猜想与n存在怎样的数量关系？并证明你的结论

(3)【问题拓展】若，，则______（直接写出结果）

7 . 综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

   

(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；
(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______；
(4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______．

8 . 问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．

      

问题探究：
(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．
问题拓展：
(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．

9 . 知矩形ABCD中，，点E是BC边上一点，于点O，分别交AB、CD于点F、G．

(1)特例发现：如图1，若，则______；
(2)类比探究：如图2，若，请探究的值，并写出探究过程；
(3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将矩形ABCD沿CF折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处，得到四边形PEFG，PE与CD交于点H，连接PC．已知，，求PC的长