名校
1 . 综合与实践：
【问题情境】
在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动．阳光小组准备了两张矩形纸片
和
，其中
，
，将它们按如图所示的方式放置，当点A与点E重合，点F，H分别落在
，
边上时，点F，H恰好为边，的中点，然后将矩形纸片绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为
，连接
与
．
【观察发现】
如图2，当
时，小组成员发现
，易得
，
．
【探索猜想】
（1）如图3，当
时，【观察发现】中发现的结论，是否仍然成立？请说明理由．
【拓展延伸】
（2）在矩形旋转过程中，当C，A，F三点共线时，请求出线段的长．
【问题情境】
在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动．阳光小组准备了两张矩形纸片
和，其中，，将它们按如图所示的方式放置，当点A与点E重合，点F，H分别落在，边上时，点F，H恰好为边，的中点，然后将矩形纸片绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为，连接与．【观察发现】
如图2，当
时，小组成员发现，易得，． 【探索猜想】
（1）如图3，当
时，【观察发现】中发现的结论，是否仍然成立？请说明理由．【拓展延伸】
（2）在矩形
旋转过程中，当C，A，F三点共线时，请求出线段的长．
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名校
2 . 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
如图1，等腰
中，
，以
为直径的
与所在直线、
分别交于点
于点
．
【初步感知】（1）求证：
为的切线；
【深入研究】（2）当
时，若
，求的长．
【拓展延伸】（3）如图2，当
时，若
，求的长．
如图1，等腰
中，，以为直径的与所在直线、分别交于点于点．【初步感知】（1）求证：
为的切线；【深入研究】（2）当
时，若，求的长．【拓展延伸】（3）如图2，当
时，若，求的长．
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2024-03-15更新
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501次组卷
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2卷引用：云南省昆明市五华区第八中学2024年初中学业水平考试数学模拟试题
名校
3 . 综合与实践
【问题情境】数学活动课上，李老师出示了一个问题：已知正方形，E为对角线上一点．如图1，连接
，
．求证：
．
数学兴趣小组的小明同学作出了回答，解题过程如下：
证明：∵是正方形的对角线，
∴
，
．
在
和
中，
，
∴
（SAS），
∴．
【建立模型】
该数学小组小菲同学受此问题启发，并提出了如下问题：
（1）如图2，若点F也是对角线上的一点，且有
（
），连接，
．求证：四边形
是菱形；
【模型拓展】
该兴趣小组在上述探索模型的结论下，发现并提出新的探究点：
（2）如图3，若正方形的边长为6，的延长线恰好经过的中点M，请你求出四边形BEDF的面积．
【问题情境】数学活动课上，李老师出示了一个问题：已知正方形
，E为对角线上一点．如图1，连接，．求证：．数学兴趣小组的小明同学作出了回答，解题过程如下：
证明：∵
是正方形的对角线，∴
，．在
和中，，∴
（SAS），∴
．【建立模型】
该数学小组小菲同学受此问题启发，并提出了如下问题：
（1）如图2，若点F也是对角线
上的一点，且有（），连接，．求证：四边形是菱形；【模型拓展】
该兴趣小组在上述探索模型的结论下，发现并提出新的探究点：
（2）如图3，若正方形
的边长为6，的延长线恰好经过的中点M，请你求出四边形BEDF的面积．
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名校
4 . 如图，是的直径，点
是上的一动点（不写点
，点
重合），点
是延长线上的一点，连接
，
，
，且有
，作
的平分线
交于点
，交于点
．是的切线；
(2)【问题探究】若
，
，则
的值为________；
(3)【拓展延伸】若
，
，求的值．（用含
和的代数式表示）
是的直径，点是上的一动点（不写点，点重合），点是延长线上的一点，连接，，，且有，作的平分线交于点，交于点．
是的切线；(2)【问题探究】若
，，则的值为________；(3)【拓展延伸】若
，，求的值．（用含和的代数式表示）
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2023-03-12更新
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763次组卷
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3卷引用：2023年云南省昆明市第八中学初中学业水平考试九年级第二学期数学模拟卷（一）
5 . 
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出
的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且
＝
＝
．连接BD，CE．①求
的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
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2022-07-09更新
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3213次组卷
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31卷引用：云南省昆明市五华区云南大学附属中学呈贡校区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
云南省昆明市五华区云南大学附属中学呈贡校区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题2022年山东省烟台市中考数学真题（已下线）专题13 相似三角形-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第2期）山东省潍坊市青州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题四川省达州市通川区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（已下线）第五节 相似三角形03综合测湖北省武汉市蔡甸区求新联盟2022-2023学年九年级3月月考数学试卷2023年湖南省岳阳市中考三模数学试题（已下线）专题12 三角形综合问题-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（全国通用）山东省东营市东营区育才学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（已下线）专题18图形的相似（精选33道）-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【山东专用】（已下线）专题32图形的相似（优选真题60道）-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】湖北省襄阳市谷城县谷伯中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题江西省抚州市实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题陕西省西安市西光中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（已下线）湖北省襄阳华侨城实验学校2023-2024学年九年级8班上学期数学周练15（已下线）清单18 相似三角形的10大经典模型-2023-2024学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）湖南省新市教育集团2023-2024学年九年级上学期月考数学试题陕西省西安市西咸新区沣东新城第一初级中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题河南省周口市第十九初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（已下线）专题6 类比思想辽宁省盘锦市双台子区实验中学2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题2023年山东省潍坊市初中学业水平考试数学一模预测题二2023年山东省济宁市兖州区中考二模数学模拟试题安徽淮南市西部地区2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题江苏省连云港市新海实验中学2023-2024学年九年级下学期数学第一次月考题2023年江苏省苏州中考数学考前模拟预测题（一）山东省泰安市2024年初中学业水平数学模拟试题2024学年内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校九年级下学期第一次综合评价数学模拟试题（已下线）专题13几何类比探究题型（4大模型+解题技巧）-2024年中考数学答题技巧与模板构建（全国通用）2024年江苏省连云港市灌云县中考数学二模试题
6 . （1）【操作】如图，请用尺规作图确定圆的圆心，保留作图痕迹，不要求写作法；
（2）【探究】如图，若（1）中的圆的半径为2，放入平面直角坐标系中，使它与
轴，
轴分别切于点和，点的坐标为
，过点的直线与圆有唯一公共点（与不重合）时，求点的坐标；
（3）【拓展】如图3，点
从点
出发，以每秒1个单位的速度沿轴向点
运动，同时，点
从原点出发，以每秒1个单位的速度沿轴向上运动，设运动时间为
（
），过点，，三点的圆，交第一象限角平分线
于点，当为何值时，
有最小值，求出此时
，并探索在变化过程中的值有变化吗？为什么？
，保留作图痕迹，不要求写作法；（2）【探究】如图，若（1）中的圆
的半径为2，放入平面直角坐标系中，使它与轴，轴分别切于点和，点的坐标为，过点的直线与圆有唯一公共点（与不重合）时，求点的坐标；（3）【拓展】如图3，点
从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴向点运动，同时，点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿轴向上运动，设运动时间为（），过点，，三点的圆，交第一象限角平分线于点，当为何值时，有最小值，求出此时，并探索在变化过程中的值有变化吗？为什么？
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名校
7 . 矩形中，、
交于点O，
（k为常数）．作
，
、
分别与、边相交于点E、F，连接，
(1)发现问题：如图1，若
，猜想：
______；
(2)类比探究：如图2，
，探究线段，之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若
，
，
，求的长．
中，、交于点O，（k为常数）．作，、分别与、边相交于点E、F，连接，(1)发现问题：如图1，若
，猜想：______；(2)类比探究：如图2，
，探究线段，之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若
，，，求的长．
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2022-04-18更新
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320次组卷
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3卷引用：2022年云南省昆明市官渡区初中学业水平考试第一次模拟测试数学试题
真题
名校
8 . 如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：
的值为 ：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2
，则BC= ．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：
的值为 ：（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2
，则BC= ．
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2018-07-07更新
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4950次组卷
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45卷引用：2019年云南省昆明市十县区九年级下学期学业水平模拟（二）数学试题
2019年云南省昆明市十县区九年级下学期学业水平模拟（二）数学试题2019年云南省昆明市十县区中考数学二模试题湖北省襄阳市2018年中考数学试卷（已下线）2018年中考试题分项版解析汇编【第二期】专题4.3 四边形冀教版数学九年级上学期第23-26章阶段性测评试卷【市级联考】安徽省亳州市2019届九年级上学期期末模拟考试数学试题【市级联考】江苏省南通市2018届九年级中考模拟数学试题【市级联考】山东省潍坊市2019届九年级上学期初中学业水平考试阶段检测数学试题【市级联考】河南平顶山市2019届九年级上学期期末考试数学试题【市级联考】河南省信阳市2019届九年级普通高中招生模拟考试（一）数学试题安徽省2019年中考考前最后一卷B卷九年级数学测试卷 2019年河南省南阳市唐河县中考数学三模试卷 福建省三明市建宁县2019届九年级上学期半期数学试题山东省济南市2019-2020学年第一学期第一次月考初三数学试题四川省成都七中育才学校2018-2019 学年九年级上学期期中数学试题2020年江苏省灌南县中考线上一模数学试题2020年广东省九年级下学期线上模拟测试数学试题2020年广东中考适应性线上模拟数学试题2020年山东省德州市平原县九年级数学中考一模试题2020年湖南省永州市中考数学模拟试题（一）人教版2020年九年级中考数学重点模型5四川省青羊实验中学2020~2021学年九年级上学期10月月考数学试题浙江省湖州市湖州第五中学2019-2020学年九年级上学期期中数学试题山西省太原市杏花岭区实验中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题2021年山东省临沂市临沭县九年级一模数学试题广东省佛山市南海区里水镇里水初级中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题（已下线）专题27.13 相似三角形的判定（培优篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）福建省宁德市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题2022年山东省东营广饶自主招生模拟试题（已下线）专题4.21 相似三角形判定定理的证明（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）福建省漳州市诏安县第一教研片2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题广东省佛山市南海石门中学2022-2023学年九年级上学期数学第二次月考测试题2022年广东省江门市蓬江区紫茶中学九年级下学期第一次模拟数学试题四川省成都市七中育才学校2019-2020学年九年级上学期期中数学试题江西省吉安市峡江县2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷2023年山东省济南市章丘中考二模数学试题陕西省西安市高新一中2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题安徽省芜湖市2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试题（已下线）2023年济南二模（几何综合）湖南省湘潭市湘潭县湘潭江声实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题江西省抚州市东乡区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题甘肃省兰州市城关区第五十六中学2023-2024学年九年级上学期9月月考数学试题吉林省长春市第六十八中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题吉林省长春市第六十八中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题2024年广东省广州市中考三模数学试题
真题
名校
9 . 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
【特例探究】
（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a= ，b= ；
如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
【拓展证明】
（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3
，AB=3，求AF的长．
【特例探究】
（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4
时，a= ，b= ；如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
【拓展证明】
（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3
，AB=3，求AF的长．
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2016-12-06更新
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936次组卷
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8卷引用：2020年云大附中一二一校区九年级三模数学试题
2020年云大附中一二一校区九年级三模数学试题2016年初中毕业升学考试（湖北随州卷）数学2017年陕西省初中数学毕业学业模拟考试（一）2017年陕西省中考数学模拟试卷（一）（已下线）决胜2018中考压轴题全揭秘 专题16 四边形问题（已下线）决胜2018中考压轴题全揭秘 专题28 探究型问题（已下线）【万唯原创】2017年河南省中考数学-试题研究-第二部分解答题重难点突破题型62022年广东省深圳市南山区九年级下学期第三次学情调研（三模）数学试题
名校
10 . 如图1，以
的直角边为直径作，交斜边于点D，点E是的中点，连接，．是的切线；
(2)【拓展】如图2，点F在
的延长线上，点M在线段上，
于点N，交于点G．求证：
；
(3)【运用】在（2）的条件下，若，
，
，求
的面积．
的直角边为直径作，交斜边于点D，点E是的中点，连接，．
是的切线；(2)【拓展】如图2，点F在
的延长线上，点M在线段上，于点N，交于点G．求证：；(3)【运用】在（2）的条件下，若
，，，求的面积．
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