1 . 如图1，以的直角边为直径作，交斜边于点D，点E是的中点，连接，．

(1)【推理】求证：是的切线；
(2)【拓展】如图2，点F在的延长线上，点M在线段上，于点N，交于点G．求证：；
(3)【运用】在（2）的条件下，若，，，求的面积．

3 . 问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值．

(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为      ；
(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；
(3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值．

4 . 数学课上，李老师出示了如下的题目．
在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图．试确定线段与的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论．
当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：____（填“”，“”或“”）．

(2)特例启发，解答题目．
解：题目中，与的大小关系是：________（填“”，“”或“”）．理由如下：
如图，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）

(3)拓展结论，设计新题．
在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为，，求的长（请你直接写出结果）．

8 . 如图，在矩形中，（为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点，且．

(1)试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，连接，当时，若，，求的长．

9 . 如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点．
   
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点．
①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值；
②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

10 . 如图，为的直径，C为上一点，连接，过C作于点D，过C作，使，其中交的延长线于点E．

(1)求证：是的切线；
(2)如图2，点F是上一点，且满足，连接并延长交的延长线于点G．
①试探究线段与之间满足的数量关系；
②若，，求线段的长．