1 . 【问题情境】和是共顶点的两个三角形，点P是边上一个动点（不与B重合），且，，连接．
   
(1)【特例分析】如图①，当，时．猜想与之间的数量关系，并说明理由；并求出的度数．
(2)【拓展探究】如图②，当，时．请判断与的数量关系以及与之间的数量关系，并说明理由．

(3)【学以致用】如图③，当，，，时，求的长．

2 . 【问题提出】如图1，在中，，点，分别为边，的中点，将绕点顺时针旋转，连接，，试探究，之间存在怎样的数量关系和位置关系？

   

【特例探究】若，将绕点C顺时针旋转至图2的位置，直线与，分别交于点，．按以下思路完成填空（第一个空填推理依据，第二个空填数量关系，第三个空填位置关系）：
∵，点，分别为边，的中点
∴
∵
∴
∴（__________）
∴__________，
又∵
∴
∴__________．
【猜想证明】若，绕点顺时针旋转至图3的位置，直线与，分别交于点，，猜想与之间的数量关系与位置关系，并就图3所示的情况加以证明；
【拓展运用】若，，将绕点顺时针旋转，直线与相交于点，当以点，，，为顶点的四边形是矩形时，请直接写出的长．

3 . （1）操作发现：在综合实践课上，同学们进行正方形图形变换探究活动，如图1，四边形和四边形都是正方形，点E在上运动，在上截取，使，连接．

①发现：，请证明；
②推断：线段与的关系是______；
（2）探究拓展：如图2，四边形和四边形都是矩形，点E在上运动，，在上截取，使，连接．判断线段与的关系并证明；
（3）学以致用：在（2）的条件下，连接交于点M，连接并延长交于点P（如图3）．当时，若，，求的长．

4 . 问题提出：如图（1），在中，，D是内一点，，若，连接，求的长．

(1)问题探究：请你在图（1）中，用尺规作图，在左侧作，使．（用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，不说明理由）
(2)根据（1）中作图，你可以得到与的位置关系是_______；你求得的长为_______；
(3)问题拓展：如图（2），在中，，D是内一点，若，求的长．

5 . 如图，已知，M为边上一动点，，D为边上一动点，，交于点N．

(1)【问题提出】三角形的三条中线会相交于一点，这一点就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性质，请大家探究以下问题
若，则______（直接写出结果）
(2)【问题探究】若，猜想与n存在怎样的数量关系？并证明你的结论

(3)【问题拓展】若，，则______（直接写出结果）

7 . 问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．

(1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．

8 . 问题背景：
如图1，在中，，，是边上的中线，E是上一点，将绕点C逆时针旋转得到，的延长线交边于点P．问题探究：

(1)探究，之和与之间的数量关系．
①先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出，之和与之间的数量关系；
②再探究一般情形，如图1，当不垂直时，证明①中的结论仍然成立；
(2)拓展探究：如图3，若的延长线交的延长线于点P时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系．