1 . 【问题探究】如图1，正方形中，点、分别在边、上，且于点P，求证；
【知识迁移】如图2，矩形中，，点E、F、G、H分别在边上，且于点P．求的值；
【拓展应用】 如图3，在四边形中，点E、F分别在线段上，且于点P．请直接写出的值．
   

2 . 在中，，，为上的一点（不与端点重合），过点作交于点，得到．

(1)【问题发现】如图1，当时，为的中点时，与的数量关系为__________；
(2)【类比探究】如图2，当时，绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由；
(3)【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点顺时针旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长．

4 . 综合与实践．
【问题发现】
（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：，
【类比探究】
（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请求出的长．

8 . （1）[探究发现]如图①，已知四边形是正方形，点为边上一点（不与端点重合），连接，将沿折叠，点落在处，、的延长线交于点．
小明探究发现：当点在上移动时，．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．
证明：延长交于点．
       
（2）[类比迁移]如图②，四边形为矩形，点为边上一点，连接，将沿折叠，点落在处，的延长线与的延长线交于点，连接，当，，时，求的长；
（3）[拓展应用]如图③，已知四边形为菱形，，，点为线段上一动点，将线段绕点按顺时针旋转，当点旋转后的对应点落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，请直接写出此时的长．
   

9 . 在中，，，P为上的一点（不与端点重合），过点P作交于点M，得到．

(1)【问题发现】如图1，当时，P为的中点时，与的数量关系为            ；
(2)【类比探究】如图2，当时，绕点A顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由；
(3)【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段的长．

10 . 已知点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接，．

(1)问题发现：如图1所示，若和均为等边三角形，则线段与线段的数量关系是________；
(2)类比探究：如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长．