2 . 综合与探究
问题提出：
数学课上，老师提出了一个问题：在中，，于点D，E为上的一动点，与相交于点G，点F在上，于点E，试探究与的数量关系，并加以证明．
   
特例故知：
（1）勤奋小组从特殊情况入手：如图1，，E为的中点，则与的数量关系为______．
变式探究
（2）希望小组受此启发，作了如下改变：如图2，将（1）中“”改为“”，其他条件不变，试探究与的数量关系，并加以证明．
拓展提高
（3）经过前两个小组的探究，智慧小组将该问题的条件更一般化：如图3，，，试探究与的数量关系，并加以证明．

3 . 小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．

   

(1)复习回顾：求的长．
(2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．
①当点G是的中点时，求证：；
②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．

6 . （1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．

   

7 . 综合与实践
【问题情景】
数学活动课上，老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）小红将矩形纸片按如图所示的方式折叠（如图①），使点A落在边的中点M处，折痕为BP，把纸片展平，则     ．
【探究与实践】
（2）小亮受到此问题的启发，用矩形（如图②），继续探究，过程如下：
操作一：将矩形对折，使与重合，折痕为，将纸片展平；
操作二：将矩形纸片沿折叠，使点A落在上的点M处，延长交的延长线于点N．
①     
②若，，求的长．
【拓展应用】
（3）小明深入研究并提出新的探究点
将矩形纸片换为正方形纸片（如图③），边长为8，将矩形纸片沿折叠，使点A落在正方形内一点M，过点M作，分别交、于点E、F，将纸片展平，当点P为中点时，求的长．

8 . 综合与实践
莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把，点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心．
教材重现：

如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？     在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）如图，是的边上的中线．

   

(1)初步观察：
连接，则与的数量关系是：________；
(2)初步探究：
请帮助莹莹求出的面积；
(3)猜想验证：
莹莹通过测量惊奇地发现．她的发现正确吗？请说明理由；
(4)拓展探究：
莹莹把剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长．

9 . 综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．

   

10 . 【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．

   

(1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；
(2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
(3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．