1 . 阅读下面活动内容，完成探究1-3的问题：将一个矩形绕点A顺时针旋转α，得到矩形，连结．
   
[探究1]如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求的长．
[探究2]如图2，连结，过点作交于点M，线段与相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线分别交，于点P，N（如图3），发现线段存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

3 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若DE⊥CF，求证：CF＝DE．
(2)如图2，在矩形ABCD中，过点C作CE⊥BD交AD于点E，若，求的值．
(3)如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，且AB＝5，AD＝3，CF＝7．求DE的长．

4 . 如图1，为了探究某种类型矩形ABCD的性质，数学项目学习小组在BC边上取一点E，连接DE．经探究发现：当DE平分∠ADC时，将△ABE沿AE折叠至△AFE，点F恰好落在DE上．据此解决下列问题：

(1)求证：△AFD≌△DCE；
(2)如图2，延长CF交AE于点G，交AB于点H．
①求证：AH·AF＝AG·CF ；            
②求GH∶DF的值．

6 . 如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，E是边AB上一点，△BCE与△FCE关于直线CE对称，连接BF并延长交AD于点G，过点F作FH⊥AD，垂足为点H，设BE＝a，请完成下列探究：
（1）AG＝_______（用含a的代数式表示）；
（2）若点H为AG的中点，则BE的长为_______．

7 . 四边形ABCD是一张矩形纸片，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠，使点A落在矩形的对角线BD上，连接CF，若DE＝1，请探究下列问题：

(1)如图1，当F恰好为BD的中点时，AE＝        ；
(2)如图2，当点C、E、F在同一条直线上时，AE＝      ．

8 . 如图，抛物线交x轴于点、，与y轴交于C点，直线交线段BC下方抛物线于D点，交BC于E点

(1)分别求出a、b的值
(2)求出线段BC的函数关系式，并写出自变量取值范围
(3)探究是否有最大值，若存在，请求出此时k值，若不存在，请说明理由．

9 . 如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=4，E是边AB上一点，△BCE与△FCE关于直线CE对称，连接BF并延长交AD于点G，请完成下列探究：

（1）设BE=a，则AG=_________(用含a的代数式表示 )；
（2）若点F为BG中点，则BE的长为___________；